Gleichung mit Logarithmen

03.12.2014, 12:50

h_damechatronik

Gleichung mit Logarithmen

Aufgabe
Wie Lautet die Lösung x€R der Gleichung

$\begin{eqnarray*} ln\frac{x}{2} - ln\sqrt{x} = 1 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz

1. Den Logarithmus weg bekommen um an das x zu gelangen
$\begin{eqnarray*} ln\frac{x}{2} - ln\sqrt{x} = 1 | *e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} - \sqrt{x} = e \end{eqnarray*}$

ist das soweit korrekt? - falls ja, jemand eine Idee wie ich das x alleine stehend bekomme? ich habe einen versuch gewagt mit umstellen und pq Formel, dieser ist jedoch mit einem Ergebnis von x=1.131... kläglich an der richtigen Lösung x=29.55..vorbei (Lösung von dem Grafikfähigen taschenrechner meines Vertrauens)

03.12.2014, 13:10

Mi_cha

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deine Umformung stimmt nicht. Wenn du die e-Funktion anwendest, erhältst du:

$\begin{eqnarray*} e^{ln\frac{x}{2} - ln\sqrt{x}} = e^{1} \end{eqnarray*}$ .

Benutze nun das richtige Potenzgesetz.

03.12.2014, 13:50

RavenOnJ

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RE: Gleichung mit Logarithmen
Rechnen mit Logarithmen? Ich hoffe dir ist bekannt: $\begin{align*} \log a +\log b = \log (ab) \end{align*}$ . Es scheint mir nicht so.

03.12.2014, 14:10

Mi_cha

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@RavenOnJ

Ich hoffe, du meinst nicht mich Augenzwinkern

Mit Umformung der Logarithmen ist es sicherlich eleganter, aber ich wollte den Ansatz des TE retten.

03.12.2014, 15:20

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mi_cha
Ich hoffe, du meinst nicht mich Augenzwinkern

Ich meinte den TE. Abgesehen davon war beim Ansatz des TE nichts zu retten.

03.12.2014, 15:41

Hausmann

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RE: Gleichung mit Logarithmen
Vielleicht zurück zur Frage von h_damechatronik:
$\begin{align*} ln\frac{x}{2} - ln\sqrt{x} = 1 \end{align*}$
In dieser Gleichung sind Logarithmen und für Logarithmen gibt es bestimmte Rechenregeln, die man im TW nachlesen kann. Bei welcher Logarithmenregel kommt ein Minuszeichen vor?
smile

03.12.2014, 23:30

h_damechatronik

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Also hier kommt man sich ja ziemlich dumm vor Hammer

Also die einzige rechenregeln welche ich gefunden habe ist
Ln(u/v)=ln(u)-ln(v)

Was dann daraus folgendes macht

Ln(u)-ln(v)-ln((x)^1/2)=1

Aber die Frage ist was nun, bzw kann mir jemand sagen auf was für eine Gleichung muss ich kommen, damit ich zur Lösung gelange

03.12.2014, 23:56

Hausmann

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Ausgezeichnet! smile

Du hast für die Logarithmen eine Rechenregel gefunden: $\begin{align*} \ln(u) - \ln( v) = \ln \left(\frac {u}{v}\right) \end{align*}$ . Mit Worten: Man subtrahiert zwei Logarithmen, indem man den Logarithmus des Quotienten bildet.

Und jetzt gucken wir uns mal Deine Formel an: $\begin{align*} \ln\left(\frac{x}{2}\right) - \ln\left(\sqrt{x}\right) = 1 \end{align*}$ . Auf der linken Seite werden zwei Logarithmen subtrahiert - was sagt also Deine Regel dazu, wie kann man einen gemeinsamen Logarithmus für die linke Seite schreiben? Welche Bezeichnungen muß man dafür austauschen?

04.12.2014, 10:34

h_damechatronik

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nunja demnach Stunde dann dort

$\begin{eqnarray*} ln\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{x} } = 1 \end{eqnarray*}$

aber mein grundpoblem besteht immer noch, dass ich nämlich nicht weis wie ich vorgehen kann verwirrt

04.12.2014, 10:49

HAL 9000

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Die Umkehroperation zum $\begin{align*} \ln \end{align*}$ ist die Expontialfunktion $\begin{align*} \exp(x)=e^x \end{align*}$ : Aus $\begin{align*} \ln(a)=b \end{align*}$ folgt $\begin{align*} a=\exp(b)=e^b \end{align*}$ , und umgekehrt.

Bei dir jetzt bedeutet dies

$\begin{align*} \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{x}} = e^1 = e \end{align*}$ .

Die linke Seite kannst du nun natürlich noch vereinfachen mit den bekannten Potenz- und Wurzelregeln, anschließend sollte die Auflösung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ rasch gelingen.

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