Konvergenz zwischen Reihe(n) & Element

03.12.2014, 14:57	janiho	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz zwischen Reihe(n) & Element Hallo, wir haben folgende Aufgabenstellung: Es seien $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} \end{eqnarray}$ konvergente Reihen und $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Dann sind auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} + b_{n} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty c a_{n} \end{eqnarray}$ konvergente Reihen und es gilt: a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} + b_{n} = \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} + \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty c * a_{n} = c * \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray}$ Unsere Idee ist folgende: Wir betrachten die k.te Partialsumme von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^k a_{n} \end{eqnarray}$ . Durch hinternanderreihung der k Partialsummen lässt sich a) und b) zeigen. Die Konvergenz lässt sich durch die aus unserer Vorlesung bekannte Definition: "[...]Konvergiert diese Folge der Partialsummmen so wird der Grenzwert ebenfalls mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.[...]" zeigen. Wir glauben, das Problem anschaulich einigermaßen verstanden zu haben. Kommen bei dem Beweis aber nicht weiter. Kann uns dabei wer behilflich sein? MfG, Jan!
03.12.2014, 23:34	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Zurückführen auf die Partialsummenfolgen ist doch genau die richtige Idee. Zum Beweis könntet ihr euch zum Beispiel $\begin{eqnarray} S_n := \sum_{k=1}^na_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_n := \sum_{k=1}^nb_k \end{eqnarray}$ definieren. Auf die Folgen $\begin{eqnarray} (S_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (T_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ könnt ihr jetzt die Grenzwertsätze loslassen (die ja schon bekannt sein sollten ?!).

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