Reihenwert ermitteln bei einer Bruch-Funktion mit Fakultät im Nenner

03.12.2014, 15:19	Steven111	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenwert ermitteln bei einer Bruch-Funktion mit Fakultät im Nenner Ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe für geometrische Reihen.Die erste war ganz gut zu bewältigen, aber bei meiner aktuellen komme ich nicht weiter. Es handelt sich bei der Funktion hinter dem Summenzeichen um einen Bruch,normalerweise versuche ich ihn zu vereinfachen oder in Teile zu zerlegen, so dass ich den nicht von der Variable "n" abhängigen Teil vor das Summenzeichen schreiben kann. Danach wende ich die Formel für n = 0 ........ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1 - q} \end{eqnarray}$ oder für n = 1 ........ $\begin{eqnarray} \frac{q}{1 - q} \end{eqnarray}$ an und verrechne dann die Zahl mit dem ggf. übrigen Teil des Terms. Aber wie bringe ich das hier auf eine einfachere Form: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n + 2)!} \end{eqnarray}$ Bisher würde mir nur einfallen dort die Fakultät irgendwie auszuschreiben,aber ich wüsste nicht ob ich da irgendwas kürzen oder abändern kann.Der Term sagt mir einfach nichts. So aus dem Kopf komme ich aktuell auf keinen Wert die Reihe.
03.12.2014, 15:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine erstgenannte Methode klappt ja nur für geometrische Reihen, was auf die Reihe unten nicht zutrifft. Aber von der Exponentialreihe $\begin{align} e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \end{align}$ hast du doch bestimmt auch schon mal gehört? Im Fall $\begin{align} x=1 \end{align}$ ist das (nach Indexverschiebung) fast schon die Reihe, die du suchst.
03.12.2014, 18:20	Steven111	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein,die Exponentialreihe ist noch recht neu für mich bzw. die Zusammenhänge und Inhalte dieser. In diversen Unterlagen steht Folgendes: $\begin{eqnarray} e = \lim_{n \to \infty } \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \end{eqnarray}$ Daraus schließe ich jetzt,dass die obere Funktion gegen diese Eulersche Zahl strebt und e auch dieser gezeigten Reihe (bzw. Summe?) entspricht.Dasselbe muss dann ja auch für $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ gelten. Aber ehrlich gesagt,werde ich daraus nicht ganz schlau.Deine Gleichung für $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ sieht meiner Aufgabe sehr ähnlich, ich nehme mal an,dass mein Reihenwert dann eine Variation von $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ sein müsste,da es ja keine geometrische Reihe sondern eine exponentielle ist. Btw,sry für meine Planlosigkeit,aber von meinem aktuellen Matheblock fehlen mir doch noch einige Grundlagen.
03.12.2014, 18:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Indexverschiebung $\begin{align} k=n+2 \end{align}$ gilt $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)!} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{align}$ . Das ist fast schon dasselbe wie die $\begin{align} e \end{align}$ -Reihe, nur dass der Index hier bei $\begin{align} k=2 \end{align}$ statt bei $\begin{align} k=0 \end{align}$ startet. Wie kann man das korrigieren?
03.12.2014, 19:09	Steven111	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss ich mal überlegen.Ich habe den Index um 2 verschoben bzw. habe ihn um 2 erhöht. Wäre es korrigiert,wenn ich für "n" jetzt "n - 2" einsetze,also in der Formel 2 von n abziehe um die Verschiebung auf dem Index auszugleichen?
03.12.2014, 20:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Völlig falscher Dampfer. Was soll's, du schaust in die verkehrte Richtung und kommst wohl nie drauf - ich meine $\begin{align} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} - \sum_{k=0}^1 \frac{1}{k!} = e - \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} = e-2 \end{align}$ .
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03.12.2014, 20:41	Steven111	Auf diesen Beitrag antworten »
Man zieht in dem Fall also die Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^1 \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ von e ab.Es ist also einfach die Differenz von e und der Summe,welche von der Indexverschiebung abgelesen werden kann. Ich verstehe nicht wieso ich darauf nicht gekommen bin.Danke jedenfalls,ich fange mit dem Thema am besten nochmal neu an.

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