Basis aus Gauß herauslesen |
| 03.12.2014, 16:19 | Student91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basis aus Gauß herauslesen Hallo an alle, ich möchte die Basis folgender Gleichungen ermitteln: x1 + x2 + x3 - x4 = 0 2x1 + x2 + x3 - 2x4 = 0 x1 + 0 + 0 -x4 = 0 Meine Gauß-Tabelle sieht am Ende so aus (ich habe das Gaußverfahren ohne Stufenform verwendet): 1 0 0 -1 = 0 0 1 1 0 = 0 Wie schaffe ich es nun, aus dieser Angabe, die Basis heraus zu lesen? Laut Lösung kommt heraus: Meine Ideen: Bis jetzt stehe ich auch dem Schlauch. |
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| 03.12.2014, 17:34 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als Gleichungen formuliert bedeutet das ja x1-x4=0 ---> x1=x4 x2+x3=0 --> x2=-x3 Setze jetzt x3=s und x4=t und schreibe eine Gleichung für auf. |
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| 03.12.2014, 21:36 | Student911 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Bjoern, da liegt genau der Knackpunkt: was nützen mir die Variablen? In welche Gleichung muss ich diese einfügen? Wenn ich jetzt in diese Gleichungen x3=t und x4=s setze, dann sieht es so aus: x1=t x2=-s Allerdings verstehe ich nicht, was mir das bringen soll. Vielen Dank. Edit opi: Komplettzitat entfernt, der Beitrag steht doch direkt oben drüber. |
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| 03.12.2014, 21:39 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was dir die Umbenennung der Variablen bringt, wirst du am Ende schon sehen. Statt x1=t kannst du jetzt auch schreiben: Versuche dasselbe Spielchen jetzt auch mal für x2,x3 und x4. |
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| 04.12.2014, 08:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Basis aus Gauß herauslesen
Zu dem bislang Gesagten ein alternativer Vorschlag: Um an die Basis des Kerns heranzukommen, mußt du zunächst die frei wählbaren Variablen bestimmen. Wie bestimmt man nun die frei wählbaren Variablen? Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt: Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar. Zur Bestimmung einer Basis des Kerns setzt man nun sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig. Und ab damit in die Algebra. |
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