Substitution

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03.12.2014, 16:22	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution Hallo, habe folgende Aufgabe und habe veraucht diese zu lösen. Es sind auch Lösungen vorhanden, wo aber die Zwischenschritte fehlen. Könntet ihr mir helfen? Aufgabe: Bestimme die Lösung der Anfangswertprobleme und gebe das maximale Intervall an, auf dem die Lösung existiert. x(mit Punkt=Ableitung) = $\begin{eqnarray} e^{2t+3x} \end{eqnarray}$ mit x(0)= x_0 Meine Lösung: = $\begin{eqnarray} e^{2t}e^{3x} \end{eqnarray}$ hier e^{3x} rüberbringen = $\begin{eqnarray} e^{-3x} x(mit Punkt)= e^{2t} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_ x^t \frac{dx}{e^{3x}}= \int_x^t e^{2t} dt \end{eqnarray}$ das erste Integral geht von x_0 bis x(t), ich konnte das leider nicht eintragen. Meine Frage ist wie man auf die Grenzen überhaupt kommt? Wenn man das integriert hat man $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}e^{-3x(t)}+ \frac{1}{3}e^{-3x_0}= \frac{1}{2}e^{2t}-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Nun will man x(t) auf einer Seite haben, weil das ja das Anfangswertproblem ist, richtig? $\begin{eqnarray} -3x(t)= ln(e^{-3x_0}+ \frac{3}{2}- \frac{3}{2}e^{2t}) \end{eqnarray}$ Wie komme ich hier auf ln? Also, welche Zwischenschritte sind hier nötig, das habe ich nicht so richtigg verstanden. x(t)= -\frac{1}{3} ln(...) T ist aus ( -unendlich, $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}ln( \frac{2}{3}e^{-3x_0}+1)) \end{eqnarray*}$ Wie komme ich auf die - unendlich? Und den ganzen Rest? Ist das Ergebnis hier einfach umgeformt? Ich komme irgendwie nicht darauf und wäre sehr froh, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Gruß Moritz
03.12.2014, 17:19	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution gelöscht, sorry
03.12.2014, 17:22	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Sorry, aber ich habe nicht verstanden, was du meinst???
03.12.2014, 17:28	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Soweit bist Du $\begin{align} e^{-3x}=-\frac{3}{2}\left(e^{2t}-1\right)+e^{-3x_0} \end{align}$ und stellst jetzt nach x um? EDIT Die Potenz erreichst Du durch Logarithmieren.
03.12.2014, 18:07	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Also ist das alles richtig was ich gemacht habe?
03.12.2014, 18:35	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Müßte stimmen, und nun durch Logarithmieren nach x umstellen.
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03.12.2014, 19:00	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Ok, also wenn ich das logarithmiere habe ich ja links die e-Funktion nicht mehr und auf der rechten Seite dann einfach nur ein ln(...). Bis dahin habe ich das jetzt verstanden. Aber wie kommen die darauf, zu sagen, dass mein t aus - unendlich und dem anderen Term ist. Da komme ich nicht drauf.
03.12.2014, 20:23	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution EDIT Meinst Du diese Stelle, mal ganz ausführlich $\begin{align} \int_ {x'=x_0}^{x'=x} \frac{dx'}{e^{3x'}}= \int_{t'=0}^{t'=t}e^{2t'}~ dt'\Rightarrow \end{align}$ $\begin{align} \left(-\frac{1}{3}e^{-3x'}\right)_{x'=x_0}^{x'=x}=\left(\frac{1}{2}e^{2t'}\right)_{t'=0}^{t'=t}\Rightarrow \end{align}$ $\begin{align} -\frac{1}{3}\left(e^{-3x}-e^{-3x_0}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{2t}-e^{0}\right) \end{align}$
03.12.2014, 20:32	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Genau, die Stelle meine ich. Wieso muss ich die Ableitung von den Grenzen nehmen, also ich würde da gar nicht draufkommen. Und wieso ist zb x'=x_0, aber t'=0?
03.12.2014, 20:36	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Bitte nochmal Blick nach oben, die Grenzen ergeben sich durch die Aufgabe, z.B. $\begin{align} x_0:=x(t=0) \end{align}$
03.12.2014, 20:58	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Ah, ok, jetzt habe ich es, danke dir. Dann noch die Frage für mein Intervalll. Wieso fängt das bei minus unendlich an und geht bis zu dem Intervall, den ich oben angegeben habe?
03.12.2014, 21:01	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Tut mir leid, die ursprüngliche Rechnung habe ich mir nicht sehr gründlich angesehen und ein unendlich finde ich nicht.
03.12.2014, 21:03	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Also, der vorletzte Paragraph bei meinem ersten Post, also, wo ich die Aufgabe reingestellt habe. Da steht t ist aus( - unendlich, ...).
03.12.2014, 21:41	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Nochmal die nackte Aufgabe Bestimme die Lösung der Anfangswertprobleme und gebe das maximale Intervall an, auf dem die Lösung existiert. und die allgemeine Lösung (richtig?) $\begin{align} x(t)=-\frac{1}{3}\ln\left[e^{-3x_0}-\frac{3}{2}\left(e^{2t}-1\right)\right] \end{align}$ Als maximal mögliches Intervall muß man nur gucken, daß der Radikand (das "Innere") des Logarithmus > null ist.
03.12.2014, 21:51	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Ok, dann muss man also den Term mit hoch t weglassen? Weil man anders nicht auf das Ergebnis kommt. Richtig?
03.12.2014, 22:37	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Vorab hoffe ich, daß Du nachgerechnet hast, dann setz die eckige Klammer null -> krit. t - Wert.
03.12.2014, 23:14	Moritzx0x	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Man muss doch nichts nachrechnen. Nur ein paar Umstellungen, dann kommt man auf das was da steht?

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