Uneigentliches Integral berechnen

03.12.2014, 17:05	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral berechnen Hallo zusammen, folgendes Integral soll berechnet werden: $\begin{eqnarray} f(z)=\int_0^{\infty}\frac{1}{1+z^4}dz \end{eqnarray}$ Die Residuen sind: $\begin{eqnarray} \frac{-1+i}{4\sqrt{2}},\frac{1+i}{4\sqrt{2}},\frac{1-i}{4\sqrt{2}},\frac{-1-i}{4\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ Daher gilt, wenn man über den Viertelkreis in der komplexen Ebene integriert: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma_R} f(z) dz = 2\pi i \left(\frac{-1-i}{4\sqrt{2}}\right)=\frac{-\pi i}{2\sqrt{2}}+\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ Nun scheitere ich daran, die beiden Integrale über den Weg von R bis Ri und von Ri nach 0 von f(z) zu berechnen, um diese von den Ausdruck oben abzuziehen, da ein unschöner Term beim Parametrisieren entsteht. Kann mir hierzu jemand aushelfen?
03.12.2014, 17:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral berechnen Es sollte leichter gehen, wenn du den Halbkreis nimmst. Offenbar ist ja f(z) achsensymmetrisch.
03.12.2014, 17:13	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, das hat unser Dozent auch so gemacht. Er hat uns aber diese Aufgabe explizit so gestellt, also über den Viertelkreis. Grüße
03.12.2014, 17:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Von i nach 0 sollte es mit Partialbruchzerlegung funktionieren. Kannst du das Integral für den Viertelkreis mal aufschreiben? Edit: Mein Fehler. Partialbruchzerlegung würde bei quadratischen Termen funktionieren. Allerdings ist $\begin{eqnarray} z \mapsto \frac 1 {1 +z^4} \end{eqnarray}$ auch symmetrisch bzgl. der x-Achse.
03.12.2014, 17:27	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Weg von R nach Ri sei $\begin{eqnarray} \theta_1 \end{eqnarray}$ . Weg von Ri nach 0 sei $\begin{eqnarray} \theta_2 \end{eqnarray}$ . Weg Viertelkreis sei $\begin{eqnarray} \gamma_R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \int_{\theta_1}\frac{1}{1+z^4}dz = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+(Re^{i\theta})^4}iRe^{i\theta}d\theta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\theta_2}\frac{1}{1+z^4}dz = -\int_{0}^{1}\frac{1}{1+(iRt)^4}iR\;dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\gamma_R} f(z) dz = 2\pi i \left(\frac{-1-i}{4\sqrt{2}}\right)=\frac{-\pi i}{2\sqrt{2}}+\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ Hm wie kann ich die Symmetrie nutzen. Mir hilft das ja nicht bei der Parametrisierung um einen besseren Ausdruck zu erhalten, wie meinst du das? Danke und Grüße.
03.12.2014, 17:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst das Integral von 0 bis unendlich auf der x--Achse. Nun benötigst du dafür das Integral von 0 bis unendlich auf der y--Achse. Die beiden Integrale sind aber identisch. Damit reicht es das auf dem Viertelbogen zu kennen. Und bei der Kreisparametrisierung würde ich Sinus und Cosinus bevorzugen. Da kann man wenigstens etwas mit arbeiten. Edit: Vlt ist das hier das Missverständnis. Du suchst nicht das Integral von 0 bis 1 und i bis 0 sondern 0 bis R bzw. iR bis 0.
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03.12.2014, 17:41	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Richtig, ich hab es bereits editiert.
03.12.2014, 18:57	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun gut, ich habe zu dieser Aufgabe eine Lösung gefunden (wäre ich wohl selber erst nach viel Zeit drauf gekommen). Will ich euch nicht vorenthalten: https://www.youtube.com/watch?v=MRLa5bk3_R4 Grüße

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