endliche auflösbare Gruppe

Neue Frage »

Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »
endliche auflösbare Gruppe
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll zeigen:


Ist G eine endliche Gruppe, dann gilt:
G ist auflösbar <=> Es gibt eine Kette , wobei
ist ein Normalteiler von und
ist eine Primzahl.
für i=0,...,n-1 gilt.

Meine Ideen:
Dies unterscheidet sich folgendermaßen zur Definition der auflösbaren Gruppe:
Bei der Definition ist ebenfalls eine Kette von Untergruppen/Normalteilern gegeben, die zweite Forderung lautet aber: ist abelsch.

Ich muss also zeigen:

ist abelsch <=> ist eine Primzahl.

Die Richtung "<=" habe ich glaube ich schon gezeigt: Ist eine Primzahl, so ist diese Faktorgruppe zyklisch und isomorph zu , also auch abelsch.

Die Richtung "=>" bereitet mir Probleme, ich stelle mich wahrscheinlich nur dumm an ... Wie komme ich hier zum gewünschten Ergebnis?

Vielen Dank schonmal!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz so einfach ist es natürlich nicht, denn eine abelsche Gruppe ist im allgemeinen etwas komplizierter als zyklisch von Primzahlordnung (wäre ja auch langweilig).
Du musst zeigen, dass jede abelsche Gruppe eine Normalteilerkette mit Primzahlfaktoren enthält.
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

danke für deine Antwort. Dann ist es ja anscheinend doch nicht so einfach wie ich befürchtet hatte Augenzwinkern Nun weiß ich leider nicht, wie ich da ran gehen kann.
Könntest du mir weiterhelfen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Aua, du hast mich erwischt, ich weiß es auch nicht. Vielleicht hat es etwas mit dem "Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen" zu tun oder mit "Elementarteilertheorie" ? Sorry ... zu lange her, und ich habe keine Zeit und Lust, nachzulesen.
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo, damit habe ich nicht gerechnet geschockt Augenzwinkern

So schwer kann es eigentlich nicht sein ... zweites Semester, Algebra-Vorlesung. Vielleicht kann ja jemand anderes noch weiterhelfen Augenzwinkern

Die beiden Begriffe die du mir genannt hast sagen mir auch nicht und es sollte mit unseren bisherigen Mitteln lösbar sein, nur weiß ich leider nicht wie Big Laugh
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade den Hinweis im Skript zu der Aufgabe:
Ist ein Gruppenhomomorphismus und N ein Normalteiler von H, so ist auch ein Normalteiler von G.
Die Aussage an sich ist ja klar, vielleicht hilft das aber jemandem auf die richtige Spur zu kommen, wie dieser Beweis geht.
 
 
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade auf, in der Formulierung die ich beweisen soll steht eine echte Teilmenge, in der Definition ein unechte.
Macht das einen Unterschied? Ich denke nein, denn habe ich eine Kette mit einer unechten Teilmenge, so kann ich dieses Glied einfach weglassen und erhalte echte Teilmenge. Stimmt das?

Entschuldigt den Mehrfachpost, aber Bearbeiten ist für mich als Gast leider nicht möglich ...
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir hier denn keiner helfen ... ?
So schwer kann die Aufgabe ja nicht sein Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ganz einfach, "Algebra 1. Semester" . Augenzwinkern

Siehe Siegfried Bosch, Algebra, Springer Verlag, 5.4 Auflösbare Gruppen, Satz 7
"Sei G eine endliche auflösbare Gruppe. Dann lässt sich in G jede echt absteigende Normalreihe mit abelschen Faktoren zu einer Normalreihe verfeinern, deren Faktoren zyklisch von Primzahlordnung sind."

Das Buch ist sehr empfehlenswert.

Anmerkung: der Hinweis wird im Beweis benutzt ... wer soll denn darauf kommen ... ??? Tipp: Buch in der Mathe-Bibliothek zur Hand nehmen !
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, wie nützlich es sein kann ein Buch zur Hand zu haben Augenzwinkern

Leider besitze ich dieses Buch nicht... in Google Books fehlt leider die Seite mit dem Beweis (Seite 258). Kannst du mir diesen vielleicht erklären oder einen anderen Link dazu geben? Vielen Dank für deine Suche!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Im Wesentlichen funktioniert das Argument folgendermaßen:

Ist irgendein Faktor nicht von Primzahlordnung, so konstruiert man sich eine (echte) Zwischengruppe (Da abelsch ist, ist dann automatisch Normalteiler in ). Das ist sehr leicht. Man muss dazu nur zeigen: Ist H irgendeine abelsche Gruppe, die nicht von Primzahlordnung ist, so gibt es eine nichttriviale Untergruppe. Darüber solltest du selbst nachdenken.


Per Induktion ist man dann sofort fertig.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »