Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten

03.12.2014, 17:06

törtchen22

Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten

Meine Frage:
Ich werd hier noch wahnsinnig.. Übungszettel Lineare Algebra, erste Aufgabe. Ich dachte, die wäre total einfach, aber ich sitze hier schon ewig und komm einfach nicht weiter!

1.) Untersuchen Sie, für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die folgenden Vektoren im R3 linear abhängig sind, finden Sie in diesen Fällen eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors, und stellen Sie den ersten Vektor als Linearkombination der beiden anderen dar.

2.) Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ die drei Vektoren eine Basis von R3 bilden. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} -1 \\ \alpha \\ 2 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 2\alpha \\ -3 \\ \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab angefangen mit einem linearen Gleichungssystem.

$\begin{eqnarray*} 1 = -1 + 2\alpha 2 = \alpha - 3 3= 2 + \alpha \end{eqnarray*}$

Dann komme ich bei 1.) und 3.) auf alpha=1, bei 2.) auf alpha = 5.

Dann ist Fall 1 alpha = 1, da komm ich aber beim besten Willen auf keine Linearkombination, die nicht-trivial den Nullvektor bildet, noch kann ich den ersten Vektor aus den anderen beiden bilden. Bei alpha = 5 ist es noch schlimmer. Was mach ich falsch?

Bei 2. hab ich gar keine Ahnung. Ich weiß zwar, was eine Basis ist, aber leider habe ich mit "zeigen Sie" grundsätzlich meine Schwierigkeiten.

03.12.2014, 17:38

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten
Wie kommst Du auf dieses Gleichungssystem?

03.12.2014, 18:52

törtchen22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten
naja, einfach zeilenweise die Vektoren aufgeschrieben. Alle x-Werte, alle y-Werte, alle z-Werte. Geht das nicht?

03.12.2014, 19:04

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten
Weißt Du, was eine Linearkombination von Vektoren ist oder was lineare Unabhängigkeit von Vektoren bedeutet?

03.12.2014, 19:58

törtchen22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten
Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur trivial aus ihnen kombinieren lässt. Eine Linearkombination ist das Ausdrücken eines Vektors durch andere Vektoren, die mit Sakrale multipliziert werden.

03.12.2014, 20:06

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten

Zitat:

Original von törtchen22
Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur trivial aus ihnen kombinieren lässt.

Was würde das bei drei Vektoren $\begin{align*} \vec u,~ \vec v , ~ \vec w \end{align*}$ formelmäßig bedeuten und wie muß die entsprechende Untersuchungs-Gleichung für die Vektoren oben aussehen?

03.12.2014, 20:28

törtchen22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten
$\begin{eqnarray*} \vec{0} = \alpha \vec{u} + \alpha \vec{v} + \alpha \vec{w} ; mit \alpha = 0 \end{eqnarray*}$

Ah, geht das eventuell so?

$\begin{eqnarray*} 1.) \vec{0} = x-x+2\alpha x 2.) \vec{0} = 2x+\alpha x-3x 3.) \vec{0} = 3x+2x-\alpha x \end{eqnarray*}$

Dann wäre x das Skalar und alpha der Parameter.

Aber auch wenn ich das löse, komme ich beim ersten auf Null und bei den anderen beiden auf 1. unglücklich

03.12.2014, 20:50

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten
Steck bitte die Nase nochmal ins Buch, such Dir die formelmäßige Definition der linearen Unabhängigkeit von Vektoren und vielleicht noch ein Beispiel aus dem dreidimensionalen Vektorraum dazu und dann wende das auf diese drei Vektoren an. Mit raten und rumstochern wird es nichts.

Tut mir leid!

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Unbekannten

Verwandte Themen