Roulette E(Xn)= n(1-(1-1/n)^n) beweisen

03.12.2014, 21:04	Lalala1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Roulette E(Xn)= n(1-(1-1/n)^n) beweisen Meine Frage: Hallo, ich habe leider ein Problem mit einer Aufgabe: Beim Roulettespiel fällt pro Spielrunde (pro gedrehtem Coup) eine Kugel zufällig in eines von 37, von 0 bis 36 nummerierten, Fächern. Aufgrund langjähriger Beobachtungen haben Roulettespieler festgestellt, dass nach 37 Spielrunden etwa 2/3 aller 37 Zahlen aufgetreten sind. Betrachten Sie allgemeiner n Teilchen (n aus N), die zufällig und unabhangig voneinander auf n Fächer verteilt werden. Die Zufallsvariable Xn gebe die Anzahl der (unter Umständen mehrfach) besetzten Fächer an. Meine Aufgabe ist es nun zu beweisen, dass gilt $\begin{eqnarray} E(X_{n})= n(1-(1-n^{-1})^n) \end{eqnarray}$ Dazu haben wir noch folgenden Hinweis bekommen: Berechnen Sie hierfür nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Xn, sondern stellen Sie Xn geeignet als Summe von Indikatorvariablen dar! Meine Ideen: Mein Problem ist es nun,dass ich überhaupt keine Idee habe, wie ich Xn als Summe von Indikatorvariablen darstellen kann... Wäre wirklich sehr dankbar für jegliche Hilfe, da ich wirklich keine Ahnung habe Danke!
03.12.2014, 21:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte erstmal besser die Anzahlen trennen: $\begin{align} m \end{align}$ Teilchen auf $\begin{align} n \end{align}$ Fächer. Ist $\begin{align} X_m \end{align}$ nun die Zufallsgröße der besetzten Fächer, und legt man die Ereignisse $\begin{align} A_k \end{align}$ ... Fach $\begin{align} k \end{align}$ ist besetzt fest, so besteht der Zusammenhang $\begin{align} X_m = \sum_{k=1}^n 1_{A_k} \end{align}$ und folglich $\begin{align} E(X_m) = \sum_{k=1}^n E(1_{A_k}) = \sum_{k=1}^n P(A_k) \end{align}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »