Beweis: Invertierbare Matrizen sind Basiswechselmatrizen

03.12.2014, 21:26	Pyrogirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Invertierbare Matrizen sind Basiswechselmatrizen Meine Frage: Hallo Ihr Lieben, ich hänge im Moment an folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlichdimensionaler $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit Dimension $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , und seien $\begin{eqnarray} A,B\in K^{nxn} \end{eqnarray}$ Zeige die Äquivalenz folgender Bedingungen: i) Es existiert eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B=S^{-1} A S \end{eqnarray}$ ii) Es existieren $\begin{eqnarray} f \in End_{k}(V) \end{eqnarray}$ und Basen $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A_{f,X,X}=A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{f,Y,Y}=B \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe schon ii) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ i) gezeigt, aber bei der anderen Richtung fehlt mir komplett der Ansatz, um zu beweisen, dass ich zwei Basen X und Y finden kann, sodass $\begin{eqnarray} A_{id,X,Y}=S \end{eqnarray}$ Gilt das überhaupt wirklich?
04.12.2014, 11:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir Wikipedia ( http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_%28Matrix%29 ) glauben können, dann gilt das wirklich ... und du musst es nur noch beweisen.

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