lokal kompakter Raum; Vereinigung offener dichter Teilmengen

03.12.2014, 21:49	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
lokal kompakter Raum; Vereinigung offener dichter Teilmengen Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne folgendes zeigen: (Falles es erst jetzt jemand liest, ich habe die Aufgabe im Edit glaube ich schon gelöst. Freue mich aber sehr über eine kurze Rückmeldung. Also nicht erschrecken, weil hier so viel steht ) Ein top. Raum heißt lokal kompakt, wenn jede Umgebung eines Punktes $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ eine kompakte Umgebung von x enthält. Zu zeigen: Jeder lokal kompakte Hausdorff - Raum (X, T) ist ein Baire-Raum, das heißt für jede abzählbare Familie offener dichter Teilmengen $\begin{eqnarray} V_0,V_1,V_2,... \subset X \end{eqnarray}$ ist der Durchschnitt $\begin{eqnarray} V =\bigcap_{k \in \mathbb N} V_k \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, habe ich 2 Möglichkeiten. Entweder ich zeigen, dass für jede offene Menge in $\begin{eqnarray} (X, T) \end{eqnarray}$ gilt, dass der Schnitt nicht leer ist. Also $\begin{eqnarray} \forall U \in T : U \cap V \neq \emptyset \end{eqnarray}$ Oder ich zeige, dass $\begin{eqnarray} \overline V = X \end{eqnarray}$ gilt. Da in der Aufgabe bereits in der Definition von Umgebungen die Rede ist, entscheide ich mich mal für Variante 1. Meine Voraussetzunge sind: lokal kompakt; hausdorffsch; Ich wähle mir jetzt eine beliebige offene Menge $\begin{eqnarray} U \in T \end{eqnarray}$ . Da die ganzen $\begin{eqnarray} V_1, V_2,... \end{eqnarray}$ dicht in X sind und offen weiß ich, dass: $\begin{eqnarray} U \cap V_n \neq \emptyset \end{eqnarray}$ gilt; der Schnitt ist sogar auch wieder eine offene Menge. Der Schnitt bildet auch eine offene Umgebung für ein Element das im Schnitt liegt. Da nun mein Raum lokal kompakt ist, liegt im Schnitt auch noch eine kompakte Umgebung, diese nenne ich jetzt mal $\begin{eqnarray} U_{k,n} \end{eqnarray}$ Da sie ja auch von dem $\begin{eqnarray} V_n \end{eqnarray}$ abhängt, mit dem ich U schneide. Also gilt: $\begin{eqnarray} U\cap V_n \supset U_{k,n} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} U_{k,n} \end{eqnarray}$ kompakt ist. Jetzt könnte ich mir mal die Menge ansehen, die beim Schnitt dieser $\begin{eqnarray} U_{k,n} \end{eqnarray}$ entsteht. Also $\begin{eqnarray} S = \bigcap_{n \in \mathbb N} U_{k,n} \end{eqnarray}$ (das k steht nur für Kompakt als Erinnerung ) Jetzt sollte der Schnitt hoffentlich nicht leer sein. (Woher weiß ich das ??? ) Nun gilt $\begin{eqnarray} S \subset U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \subset V_n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Also gilt auch $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} V_n \supset S \end{eqnarray}$ dann aber auch: $\begin{eqnarray} S \subset \bigcap_{n \in \mathbb N} V_n \cap U \end{eqnarray}$ Damit wäre dann der Schnitt mit einer beliebigen offenen Menge nicht leer und $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} V_n \end{eqnarray}$ damit dicht. Ich habe jetzt mal versucht den Beweis irgendwie zu beenden. Er stimmt bestimmt noch nicht, daher freue ich mich sehr über jede Hilfe. Vielen Dank EDIT: Auch wenn noch keiner geantwortet hat, mach ich mal weiter. Ich habe nämlich einen Fehler schon entdeckt. Mein $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist abzählbarer Schnitt von offenen Menge, was sehr wohl leer sein kann. Zum Beispiel $\begin{eqnarray} \bigcap_{n\in \mathbb N} (0,\frac{1}{n}) = \emptyset \end{eqnarray}$ Nun habe ich aber gelesen, dass folgendes gilt: Seien $\begin{eqnarray} A_0,A_1,A_2,... \end{eqnarray}$ kompakte Teilmengen mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray} A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset ... \end{eqnarray}$ und alle nicht leer dann gilt: $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} A_n \neq \emptyset \end{eqnarray}$ Zurück zur Aufgabe: ich definiere mir jetzt einfach folgendes; Ich nehme eine beliebige offene Menge $\begin{eqnarray} B_0 \end{eqnarray}$ diese schneide ich mit V_1 und erhalte so eine offene Menge $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ , die im Schnitt enthalten ist. Da mein Raum lokal kompakt ist, kann ich $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ als kompakt annehmen. Ich mache dann wie folgt weiter: $\begin{eqnarray} B_1 \subset V_1 \cap B_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_2 \subset V_2 \cap B_1 \end{eqnarray}$ ... also allgemein $\begin{eqnarray} B_n \subset V_n \cap B_{n-1} \end{eqnarray}$ dadurch erhalte ich die absteigende Folge kompater Teilmengen: $\begin{eqnarray} B_0 \supset B_1 \supset ... \end{eqnarray}$ Dann betrachte ich wieder: $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} B_n \neq \emptyset \end{eqnarray}$ nach dem obigen Satz. Es gilt: $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} B_n \subset B_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} B_n \subset V_n \ \ \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Damit gilt für die beliebige offene Menge $\begin{eqnarray} B_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} B_0 \cap \bigcap_{n \in \mathbb N} V_n \neq \emptyset \end{eqnarray}$ womit $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} V_n \end{eqnarray}$ dicht in X ist.
03.12.2014, 22:47	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lokal kompakter Raum; Vereinigung offener dichter Teilmengen Seit ich Point-Set-Topology gelernt habe, ist zwar schon eine Weile her, aber dein Ansatz sieht doch recht vielversprechend aus. Ich würde folgendes vorschlagen: Setze $\begin{eqnarray} U_{k,n} \subset U \cap V_1 \cap V_2 \cap ... \cap V_{n-1} \cap U_{k,n-1} \end{eqnarray}$ kompakte Umgebung. Der Schnitt über eine Anzahl kompakter Mengen ist genau dann leer, wenn ein endlicher Teilschnitt leer ist (folgt direkt aus Definition von Kompaktheit, evtl. braucht man dazu, dass Kompakte Mengen abgeschlossen sind? Bin mir im Detail nicht sicher und habe gerade auch keine Zeit zum Nachdenken, aber in dem Fall ginge hier hausdorff ein.) lg
03.12.2014, 22:54	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lokal kompakter Raum; Vereinigung offener dichter Teilmengen So in etwa habe ich es im Edit gemacht.
03.12.2014, 23:29	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lokal kompakter Raum; Vereinigung offener dichter Teilmengen Der kam leider nach meiner Antwort, sonst hätte ich natürlich nicht geantwortet. Aber gut, dann hast du es ja jetzt.
04.12.2014, 00:10	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lokal kompakter Raum; Vereinigung offener dichter Teilmengen dennoch danke

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