Nullstellen bestimmen (reelle & komplexe)

04.12.2014, 10:06

Conny94

Nullstellen bestimmen (reelle & komplexe)

Meine Frage:
Hallo!

Zu tun ist die jeweils alle Nullstellen der nachfolgenden Funktion zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f : (0 |\infty ) \setminus \lbrace e^{-1}, e^{5}\rbrace \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{1}{5-\ln(x)}+\frac{2}{1+\ln(x)} \text{ mit } x \in (0 |\infty ) \setminus \lbrace e^{-1}, e^{5}\rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb C \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(z) := e^z + 6e^{-z}-5 \text{ mit } (z \in \mathbb C) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nullstellen bestimmen, bedeutet die Schnittpunkte mit der x-Achse zu bestimmen, d.h. die Funktion gleich Null zu setzen.

Erste Frage wenn ich so auf die Aufgabe blicke ist, wieso $\begin{eqnarray*} \lbrace e^{-1}, e^{5}\rbrace \end{eqnarray*}$ bei der reellen Funktion rausgenommen wird.

Ich würde jetzt erstmal Erweitern bei der reellen Funktion:

Da komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{11-\ln(x)}{5+4\ln(x)-\ln(x)^2} \end{eqnarray*}$

Der natürliche Logarithmus hat seine Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt frage ich mich wie ich das hier lösen soll? Polynomdivision? In solcher Form erscheint es mir irgendwie absurd.

Ich komme einfach nicht weiter unglücklich

Die komplexe Funktion da kam ich auf die Idee mit der Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$

Erhalte dann die Form:
$\begin{eqnarray*} e^{2z}-5e^{z}-6 \end{eqnarray*}$

Das hat ja schon eine quadratische Form, wenn ich das Potenzgesetz anwende:
$\begin{eqnarray*} (e^{z})^2-5e^{z}-6 \end{eqnarray*}$

Aber dürfte ich in diesem Fall die PQ-Formel benutzen?

Habe wie man sieht einige Ideen fehlt nur noch bisschen das iii-Tüpfelchen.

Danke schon mal,

Cornelia

04.12.2014, 10:29

Mi_cha

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zur ersten Funktion:

$\begin{eqnarray*} e^{-1}, e^{5} \end{eqnarray*}$ sind die Definitionslücken, an denen die Funktion nicht definiert ist.
Die Umformung der Funktion stimmt. Nun musst du überlegen, wann ein Bruch nur Null werden kann.

zur zweiten Funktion:

richtige Idee. Setze $\begin{eqnarray*} e^{x} =u \end{eqnarray*}$ und verwende die pq-Formel.

Edit: $\begin{eqnarray*} f(z)=e^{z^{2} }-5e^{z}+6 \end{eqnarray*}$

04.12.2014, 10:46

Conny94

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Zitat:

Original von Mi_cha
Die Umformung der Funktion stimmt. Nun musst du überlegen, wann ein Bruch nur Null werden kann.

Also Zähler Null setzen? D.h.

$\begin{eqnarray*} 11-\ln(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = e^{11} \end{eqnarray*}$

Aber es muss gelten, dass der Nenner ungleich Null ist?

Zitat:

Original von Mi_cha
Setze $\begin{eqnarray*} e^{x} =u \end{eqnarray*}$ und verwende die pq-Formel.

Edit: $\begin{eqnarray*} f(z)=e^{z^{2} }-5e^{z}+6 \end{eqnarray*}$

Aber wieso $\begin{eqnarray*} f(z)=e^{z^{2} }-5e^{z}+6 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

$\begin{eqnarray*} e^z \cdot e^z = e^{2z} \end{eqnarray*}$

Danke Mi_cha

Cornelia

04.12.2014, 10:50

Mi_cha

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1) ja, Zähler gleich Null, Nenner ungleich Null. Das Ergebnis stimmt.

2) mit dem Edit habe ich nur die +6 verbessert wollen. Deine Umformung stimmt ansonsten.

04.12.2014, 11:03

Conny94

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Zitat:

Original von Mi_cha
1) ja, Zähler gleich Null, Nenner ungleich Null. Das Ergebnis stimmt.

Das ist doch die einzige Nullstelle, oder? Wie zeige ich denn dass der Nenner ungleich Null ist, ich meine man sieht es aufgrund der 5 und der ln Konstellation.

Zitat:

Original von Mi_cha
2) mit dem Edit habe ich nur die +6 verbessert wollen. Deine Umformung stimmt ansonsten.

Ahso, oki

Also ist dann:

$\begin{eqnarray*} u = e^z \end{eqnarray*}$ damit erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} u^2 - 5u + 6 = 0 \end{eqnarray*}$

Mit PQ-Formel ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} u_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} u_1 = 3 \text{ und } u_2 = 2 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch Resubstituieren:
$\begin{eqnarray*} z_1 = \ln(3) \text{ und } z_2 = \ln(2) \end{eqnarray*}$

Cornelia

04.12.2014, 11:06

Mi_cha

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Zitat:

Wie zeige ich denn dass der Nenner ungleich Null ist,

Indem du den errechneten Wert einsetzt.

Zitat:

Jetzt noch Resubstituieren: $\begin{eqnarray*} z_1 = \ln(3) \text{ und } z_2 = \ln(2) \end{eqnarray*}$

Das würde stimmen, wenn es sich um eine reelle Funktion handelte. Bedenke, dass du im komplexen bist.

04.12.2014, 11:15

Conny94

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Zitat:

Original von Mi_cha

Zitat:

Wie zeige ich denn dass der Nenner ungleich Null ist,

Indem du den errechneten Wert einsetzt.

Wenn ich einsetze erhalte ich $\begin{eqnarray*} 5 + 44 -121 = -72 \end{eqnarray*}$ also ungleich Null. Nullstelle existiert, fertig?

Zitat:

Original von Mi_cha
Das würde stimmen, wenn es sich um eine reelle Funktion handelte. Bedenke, dass du im komplexen bist.

Ups

hm die 1 Million € Frage was macht die Komplexität? verwirrt

Danke Mi_cha

Cornelia

04.12.2014, 11:22

Mi_cha

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1) ja
2) es geht hier um die Periodizität der e-Funktion. Es gilt - das wird wohl irgendwo im Skript stehen: $\begin{eqnarray*} e^{z}=e^{z+2 \pi i k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Die Lösungen sehen dann so aus: $\begin{eqnarray*} z_{1}=ln(3)+ 2 \pi i k, k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} z_{2}=ln(2)+ 2 \pi i k, k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

04.12.2014, 11:33

Conny94

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Zitat:

Original von Mi_cha
1) ja

Gut, super Freude

Zitat:

Original von Mi_cha
2) es geht hier um die Periodizität der e-Funktion. Es gilt - das wird wohl irgendwo im Skript stehen: $\begin{eqnarray*} e^{z}=e^{z+2 \pi i k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Die Lösungen sehen dann so aus: $\begin{eqnarray*} z_{1}=ln(3)+ 2 \pi i k, k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} z_{2}=ln(2)+ 2 \pi i k, k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Hm. Stimmt da erinnere ich mich sogar an die Vorlesung i.was von einer periodische e-Funktion.

Ich verstehe aber wenn ich ehrlich bin nicht den Sachverhalt. Was macht denn die e-Funktion im komplexen anders?

Dieses $\begin{eqnarray*} e^{z}=e^{z+2 \pi i k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ fällt mir ein wenig vom Himmel und ich weiß nicht was es bedeutet. Irgendwas zwei pi periodischen, aber hm.

Danke Mi_cha

Cornelia

04.12.2014, 11:39

Mi_cha

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dann schaue dir das am besten nochmal an. Ich bin leider nicht in der Lage, das vernünftig zu erklären traurig