Vereinfachung und Ableitung

04.12.2014, 11:26

96MichelleMichi96

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Vereinfachung und Ableitung

Aufgabe :
Nach Vereinfachung(wo möglich) folgender Funktion, berechnen Sie die erste Ableitung.

Danach vereinfachen Sie die Ableitungsfunktion (z.B. in dem sie gleiche Terme ausklammern und/oder kürzen) & welche Ableitungsregel haben Sie nun verwendet ?

Tipp : typisch für Vereinfachungen sind, - binomische Formeln , - Potenz und Logarithmen gesetzte oder kürzen

$\begin{eqnarray*} y= e^{-ln[(x^{2}+e^{2x})^{-2}]-x^{3} } \end{eqnarray*}$

Meine Idee bzw erster Ansatz :

$\begin{eqnarray*} y= e^{-ln[(x^{2}*(-2)+e^{2x}*(-2)]-x^{3} } \end{eqnarray*}$

Bin aber bei solchen Umformungen noch ziemlich ungeübt und unsicher... deswegen bin ich ja auf dieser Seite und ich weiß nicht ob ich die Regeln die ich gelernt habe auch richtig umsetze

Danke im vorraus

04.12.2014, 11:32

Bjoern1982

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Zitat:

Meine Idee bzw erster Ansatz :

$\begin{eqnarray*} y= e^{-ln[(x^{2}*(-2)+e^{2x}*(-2)]-x^{3} } \end{eqnarray*}$

Eine solche Regel gibt es nicht.
Die -2 ist doch ein Exponent und kein Faktor.

Welche Logarithmengesetze sind dir denn so bekannt ?

04.12.2014, 11:47

96MichelleMichi96

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diese 3 (Bild)

und komme direkt auf eine neue Idee, ob die besser ist, ist dennoch eine andere Sache Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} y= e^{-2*(-ln(x^{2}+ e^{2x})) } -x^{3} \end{eqnarray*}$

04.12.2014, 12:08

Bjoern1982

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Ja, die 3. Regel kann man hier tatsächlich gut gebrauchen. Freude

Freude

"Minus mal Minus" ergibt ja dann auch...
Alternativ kann man es auch andersherum sehen und den Faktor -1 vor dem Logarithmus in den Logarithmus zu ziehen, was denn zu $\begin{eqnarray*} ln[(x^2+e^{2x})^2] \end{eqnarray*}$ führt.
Soll dein -x³ im Exponenten stehen (so wie in deinem Eingangspost) oder ganz außerhalb der Potenz (so wie in deinem letzten Post) ?
Im weiteren Verlauf kannst du zudem ausnutzen, dass sich e-Funktion und ln-Funktion gegenseitig aufheben, da $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ gilt.

04.12.2014, 12:25

96MichelleMichi96

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sorry im Exponenten smile

smile

also habe ich jetzt

$\begin{eqnarray*} y= e^{2*ln(x^{2}+ e^{2x}) -x^{3} } \end{eqnarray*}$ ?

04.12.2014, 12:54

Bjoern1982

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Ja genau.
Nun könntest du daraus $\begin{eqnarray*} e^{2ln(x^2+e^{2x})} \cdot e^{-x^3} \end{eqnarray*}$ machen.
Ist dir klar, warum das geht und was dir das bringt?

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04.12.2014, 16:43

96MichelleMichi96

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entschuldigung das ich erst jetzt antworte ><

ok gut aber wie kriegen wir jetzt die "2" vor dem ln weg... damit sich "e" & "ln" "auflösen" ...

04.12.2014, 19:39

Bjoern1982

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Wie gesagt, kannst du da ja auch $\begin{eqnarray*} r \cdot ln(a)=ln(a^r) \end{eqnarray*}$ benutzen.

04.12.2014, 20:05

96MichelleMichi96

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also sieht das nun so aus

$\begin{eqnarray*} y= {2*(x^{2}+ e^{2x}) -x^{3} } \end{eqnarray*}$

da im Exponenten vor dem "ln" ne 2 als vorfaktor steht, weiß ich nicht wie es sich wegkürzt ._.

04.12.2014, 22:38

96MichelleMichi96

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oder $\begin{eqnarray*} y= {ln^{ (x^{4}+ e^{4x^2}) -x^{3} }} \end{eqnarray*}$

04.12.2014, 22:47

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{2ln(x^2+e^{2x})} \cdot e^{-x^3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie gesagt, kannst du da ja auch $\begin{eqnarray*} r \cdot ln(a)=ln(a^r) \end{eqnarray*}$ benutzen.

Das hier hat noch nirgendwo stattgefunden.

04.12.2014, 23:52

96MichelleMichi96

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und meine 2 Idee ?

05.12.2014, 11:26

96MichelleMichi96

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also $\begin{eqnarray*} y= {ln^{ (x^{4}+ e^{4x^2}) -x^{3} }} \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 11:49

Bjoern1982

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Wenn von deinen Vorschlägen etwas richtig gewesen wäre, hätte ich das schon gesagt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sie wirken aber eher ziemlich geraten oder kannst du genau begründen, wie sie entstanden sind ?

05.12.2014, 12:01

96MichelleMichi96

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Zitat:

Wie gesagt, kannst du da ja auch $\begin{eqnarray*} r \cdot ln(a)=ln(a^r) \end{eqnarray*}$ benutzen.

also bei

$\begin{eqnarray*} e^{2ln(x^{2} +e^{2x})}* e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

bin ich davon aus gegangen das die "2" das "r" ist & das in der klammer also" x^2+e^2x" sind das a

...

05.12.2014, 12:03

Bjoern1982

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Ganz genau, und was folgt dann dadurch ?

05.12.2014, 12:11

96MichelleMichi96

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$\begin{eqnarray*} e^{2ln(x^{2} +e^{2x})}* e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

dann wird das ja zu

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x^{2} +e^{2x})^{2} }* e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

und laut der Portenzregel (a^m)^n = a^m*n

dachte ich mir

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x^{4 } +e^{4x})}* e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 12:25

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x^{2} +e^{2x})^{2} }* e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

und laut der Portenzregel (a^m)^n = a^m*n

(a+b)² erinnert ja eher an eine binomische Formel.
Bei (a*b)² hättest du das machen können.

Benutze an der Stelle $\begin{eqnarray*} e^{ln[(x^{2} +e^{2x})^{2} ]} \cdot e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$ jetzt nur noch, dass $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ gilt und viel mehr kann man dann auch nicht vereinfachen.
Danach geht es dann ans Ableiten.

05.12.2014, 12:33

96MichelleMichi96

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Zitat:

Original von Bjoern1982
[QUOTE] $\begin{eqnarray*} e^{ln(x^{2} +e^{2x})^{2} }* e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

also e & ln kürzen sich ja weg

$\begin{eqnarray*} (x^{2 } +e^{2x})^{2} * e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

dann mit der binomischen Formel wäre es

$\begin{eqnarray*} (x^{4}+2x^{2}* e^{2x} + e^{4x} ) * e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 12:37

Bjoern1982

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Genau, wobei du es eigentlich auch so stehen lassen könntest und vielleicht auch solltest, denn sonst wird es nachher komplizierter als nötig:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x^{2 } +e^{2x})^{2} * e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

Welche Ableitungsregel wäre jetzt angebracht ?

05.12.2014, 12:51

96MichelleMichi96

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habe die binomische Formel benutzt, da ich nicht genau weiß wie man ableitet wenn man einen exponenten ausserhalb der klammer noch hat... aber ich versuchs

Die Produktregel wahrscheinlich als erstes

y'(x)=u'*v+v'*u

damit ist unser u " (x^2+e^2x)^2 "
& unser v dann "e^-x^2

$\begin{eqnarray*} v'= e^{-x^{2} } *(-x^{2} ) \end{eqnarray*}$

das wäre dann ja die Kettenregel & "e" bleibt beim Ableiten bestehen ...

und bei $\begin{eqnarray*} u'= (2x+e^{2x})^{2} \end{eqnarray*}$

das wäre dann die Summenregl & das "e" bleibt wieder bestehen ?

is das bisher richtig ? bin mir nämlich sehr unsicher... im nächsten Schritt würde dann die Produktregel folgen...

05.12.2014, 17:27

96MichelleMichi96

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Da ich Probleme mit dem Exponenten hatte, habe ich die binomosche Formel doch angewendet und dann abgeleitet dann kam das heraus (Bild) problem ist halt nun das zusammen fassen....

05.12.2014, 18:40

96MichelleMichi96

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So ich hab's jetzt endlich.... aber wie fasse ich das nun zusammen geschockt

geschockt

traurig

05.12.2014, 19:52

Mathema

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Ich gebe mal folgenden Hinweis, da Björn gerade nicht online ist:

Es geht also um diese Funktion, die du ableiten möchtest?

$\begin{eqnarray*} (x^{2 } +e^{2x})^{2} * e^{-x^{3} } \end{eqnarray*}$

Deine Scans kann ich kaum lesen, da sind meine Augen anscheinend schon für alt zu. Deshalb kann ich mich auch leider nicht dazu äußern. Es wäre also nicht verkehrt in Zukunft hier den Formeditor zu benutzen, auch wenn das wohl etwas mehr Arbeit bedeutet als einmal zu scannen.

Wendest du die Produktregel an ergibt sich doch:

$\begin{eqnarray*} 2(x^2+e^{2x})(2x+2e^{2x})e^{-x^3}+(x^2+e^{2x})^2e^{-x^3}\cdot(-3x^2) \end{eqnarray*}$

Nun Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} e^{-x^3}(x^2+e^{2x})(....) \end{eqnarray*}$

Anschließend kannst du noch in der Klammer zweimal Ausklammern.

Damit solltest du erstmal weiterarbeiten können. Ansonsten hilft Björn dir bestimmt noch mal weiter.

Wink

Wink

05.12.2014, 20:10

96MichelleMichi96

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also ich muss die funktion ableiten

$\begin{eqnarray*} y= e^{-ln[(x^{2}+e^{2x})^{-2}]-x^{3} } \end{eqnarray*}$

habe das dann mit Björn zusammen zusammen gefasst und habe dann allein weiter gerechnet.. und habe auch wenn ich das nicht machen sollte das mit der binomischen Formel aufgelöst damit es mir leichter fällt und nund habe ich das vor mir und muss das zusammen fassen...

$\begin{eqnarray*} y'(x)=[4(x^{3} +(e^{2x} (x+1)*x ] * [e^{-x^{3} } ] +[ e^{-x^{3}*(-3x^{2} } ]* [(x^{2}+e^{2x})^{2}] \end{eqnarray*}$

mit den eckigen klammern habe ich halt gezeigt wo u',v,v' & u sind smile

smile

nun habe ich das problem mit dem zusammen fassen, habe die Funktion abgeleitet nachdem ich die binomische Formel benutzt habe

edit : so mit dem klammern verstehe ich das einfach nicht... wenn wir die produkt regelb benutzten ist ja

(x^2+e^2x)^2 = u

& ich weiß nicht wie ich auf u' kommen soll... wegen den exponenten auserhalb der klammer unglücklich

unglücklich

deswegen habe ich ja die binomische Formel benutzt... sogar mit der Lsg. die da steht verstehe ich nicht wie man auf u' kommt... diese Regel ist mir nicht bekannt und steht nicht in meinen Buch unglücklich

unglücklich

05.12.2014, 23:03

Mathema

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Zitat:

diese Regel ist mir nicht bekannt und steht nicht in meinen Buch unglücklich

unglücklich

Ein merkwürdiges Buch hast du dann wohl, wenn die Kettenregel dort nicht zu finden ist.

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