Konvergenz/Divergenz zweier positiver Folgen mit Majoranten- und Minorantenkriterium zeigen.

04.12.2014, 14:01	straw	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Divergenz zweier positiver Folgen mit Majoranten- und Minorantenkriterium zeigen. Hi, ich poste hier zum ersten mal, aber ich hoffe ich habe alle regeln beachtet. Ich habe eine Aufgabe in einer Klausur eines Freundes gefunden welche ich sehr gern lösen würde, aber ich bin in meinem mathekurs selbst noch nicht weit genug um die Aufgabe ohne Probleme lösen zu können. Ich hoffe ihr könnt mir dabei ein paar tips geben Es seien $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ positive Folgen mit $\begin{eqnarray} 0 < lim inf_{n \Rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq lim sup_{n \Rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}} < \infty \end{eqnarray}$ Zeigen Sie mit Hilfe des Majoranten- und des Minorantenkriteriums, dass die Reihen $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ entweder beide konvergieren oder beide divergieren. Ich weiß dass für Konvergenz $\begin{eqnarray} lim sup a_{n} = lim inf a_{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \Rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gelten muss und dass $\begin{eqnarray} lim sup b_{n} \leq lim inf a_{n} \end{eqnarray}$ ist wenn man annimt dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ Majorante von $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ ist. Aber mehr fällt mir dazu nicht ein und ich konnte die Aufgabe nach relativ langen Nachforschungen immer noch nicht lösen. Über Hilfe wäre ich wirklich dankbar!
04.12.2014, 15:28	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Divergenz zweier positiver Folgen mit Majoranten- und Minorantenkriterium zeigen. Setze $\begin{eqnarray} \alpha:=\frac 12\liminf_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta:=\frac 32\limsup_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right). \end{eqnarray}$ Dann gilt für hinreichend große $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha b_n\leq a_n\leq \beta b_n. \end{eqnarray}$

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