Doppelpost! Lineare abbildungen mit f^2 = f und g = id - f

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Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare abbildungen mit f^2 = f und g = id - f
Meine Frage:
Hallo!

1) Es sei V ein Vektorraum und f:V => V eine lineare Abbildung mit der eigenschaft f^2 = f . Zeigen Sie, dass die Abbildung g = id - f die gleiche Eigenschaft hat, dass Ker f = Im g und Im f = Ker g gilt und dass V die direkte summe dieser beiden Unterräume ist.

2) Der vektorraum sei die summe der beiden Unterräume V1 und V2, und es seien Linearformen l(1) aus V(1)* und l(2) aus V(2)* gegeben. Zeige, dass es genau dann eine Linearform f in V* mit den eigenschaften "l eingeschränkt auf V(1)" = l(1) und "l eingeschränkt auf V(2)" = l(2) gibt, wenn
l(1) eingeschränkt auf V(1) Schnitt V(2) = l(2) eingeschränkt auf V(1)

(Mengen-)Schnitt V(2) .

Meine Ideen:
Im Grunde muss ich doch die Inklusionen Kerf in Im g und Im g in Ker f zeigen, um die Gleichheit zu beweisen. analog verfahre ich auch mit Im f = Ker g. Ich nehme mir also einen Vektor v aus Ker f und bilde diesen unter f ab: f(v) = 0. woher weiß ich jetzt, dass das ein element aud Im g ist???

Zum zweiten Problem habe ich ein kommutatives Diagramm aufgestellt mit meinen Unterräumen und den zugehörigen dualen Unterräumen. allerdings weiß ich an dieser stelle nicht weiter.

Vielen dank für die Hilfe!!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf habe ich schon mehr als ausführlich geantwortet. Bitte eine Frage nur einmal stellen.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte im alten Thread weiter machen.
Sollte es dennoch einen guten Grund für die Neueröffnung geben, dann bitte eine PN mit der Begründung schicken, danke.
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