Prüfen ob injektiv, surjektiv, bijektiv

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AHnungsloser 7 Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen ob injektiv, surjektiv, bijektiv
Meine Frage:
Hallo,

ich sitze grade an einer Aufgabe bei der ich nicht wirklich weiterkomme...
Und zwar habe ich die Matrix gegeben und soll überprüfen ob dessen Abbildung f injektiv und/oder surjektiv ist.



Meine Ideen:
Die Abbildung habe ich schon bestimmt:. Ist die soweit richtig? Und wenn ja, wie kann ich jetzt Injektivität und Surjektivität überprüfen?

Latex korrigiert - Guppi12
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es hat etwas mit dem Zeilen-/Spaltenrang zu tun. Kennst du eine Aussage über Injektivität/Surjektivität und den Rang einer Matrix?
Ahnungsloser 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich bin ich total aufgeschmissen, da mir die definitionen von injetivität und surjektivität an sich nicht wirklich klar sind...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Funktion injektiv ist, bedeutet das: Jedes Element aus der Wertemenge der Funktion wird höchstens einmal "getroffen". Anders gesagt: Aus folgt (dabei sind ).

Ist surjektiv, dann wird jedes Element aus der Wertemenge mindestens einmal getroffen, d.h.: Für jedes gibt es (mindestens) ein , sodass gilt.

Jetzt verstanden? smile

Übrigens: Man kann die Aufgabe auch ohne die Aussagen über den Rang lösen, wenn du diese noch nicht kennst.
Ahnungsloser 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh okay!

Also mir ist jetzt schon klar geworden, dass die Abbildung injektiv sein muss, weil ich es nicht schaffe x und y verschieden zu wählen und trotzdem das gleiche ergbenis für die Abbildung f rauszubekommen...

wie zeige ich das denn jetzt formal??
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ahnungsloser 7
weil ich es nicht schaffe x und y verschieden zu wählen und trotzdem das gleiche ergbenis für die Abbildung f rauszubekommen...

Das kann ja sein, aber es kann trotzdem Beispiele dafür geben. Ich würde mich eher auf die Suche nach so einem Beispiel machen, anstatt zu versuchen, die Injektivität zu beweisen. Augenzwinkern

Wenn du nichts findest, dann gib dir z.B. Werte für vor, setze diese in die Gleichung ein, und überprüfe, ob du daraus eindeutig und bestimmen kannst, und ob und gilt. Wenn nicht, hast du ein Gegenbeispiel zur Injektivität gefunden.
 
 
Ahnungsloser 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das habe ich jetzt verstanden Freude
aber die Bijektiviät ist mir immer noch ein Dorn im Auge
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Funktion nicht injektiv ist, kann sie auch nicht bijektiv sein.
Oder meintest du "... die Surjektivität ist ..."? Augenzwinkern

Du musst überprüfen, ob es zu jedem ein gibt, sodass ist. Es läuft also auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems hinaus. Hat das Gleichungssystem für jedes eine Lösung?
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