Stetigkeit bei Funktionen mit dichten Teilmengen

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rebro Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit bei Funktionen mit dichten Teilmengen
Meine Frage:
Sei ein Intervall in , das mehr als einen Punkt enthält, und seien und stetige Funktionen. Für alle sei .
Beweisen sie, das für alle gilt.

Meine Ideen:
Überlegungen:
- da dicht in liegt müsste sich über eine Regel o.ä. beweisen lassen, das es für beide gilt
- da beides stetige Funktionen sind, kann man darauf folgern, das die Aussage richtig ist

Leider kann ich nur keinen Beweis anführen ...
Gibt es da eine Regel, einen Satz, o.ä. den ich anwenden kann?

Wie immer, brauche ich nur einen Schubs in die richtige Richtung :-)
Danke schon mal vorab.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nutze aus, dass es für alle eine Folge gibt, deren Folgenglieder rationale Zahlen sind und deren Grenzwert gerade ist. (Das kann man aus der Dichtheit folgern.)

Kommst du damit weiter ?
rebro Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

leider komme ich erst jetzt dazu mir die Aufgabe nochmal anzuschauen.

Ich kann dir bezüglich der Dichtheit nicht fogen.
Wenn:
bzw.

Woher weiß ich dann den lim?
Ich finde da leider keine Gesetzmäßigkeit in meinen Unterlagen.

Ich nehm das mal als gegeben hin.
Mit:

kann ich nicht darauf folgern, dass auch wenn dich in liegt.

Da beide Funktionen stetig sind und für alle gilt , weiß ich auch nicht, wie ich den Grenzwert anwenden soll.
Hammer
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal solltest du den Tipp wirklich verstehen.

Für eine beliebige Zahl aus gibt es eine Folge , die gegen konvergiert und deren sämtliche Folgenglieder rationale Zahlen aus sind.

Da erübrigt sich die Frage, woher wir den Limes der Folge kennen. Die Folge geben wir einfach selber so vor. Wenn dir nicht klar ist, warum es sowas gibt, überlegen wir es uns:

Was bedeutet es denn, dass dicht in liegt.
rebro Auf diesen Beitrag antworten »

liegt dicht in bedeutet, dass nahezu alle Elemente aus in vertreten sind. nähert sich an.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit können wir leider nichts anfangen. Wir brauchen eine exakte Definition.
 
 
rebro Auf diesen Beitrag antworten »

Dichte Teilmengen werden in meinen Unterlagen leider vorrausgesetzt. Ich kenne nur die Definition von Wikipedia, bzw. das, was ich mir zusammengesucht habe.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann musst du mir aber trotzdem noch sagen, welche Definition du dafür verwenden willst.

Eine mögliche Definition wäre (zumindest in diesem Spezialfall) sogar tatsächlich genau, dass es für jede reelle Zahl eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen diese reelle Zahl konvergiert. Willst du diese verwenden ?
rebro Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe leider nicht genau, warum es eine Folge rationaler Zahlen gibt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun wie gesagt, das könnte man gewissermaßen als Definition der Dichtheit ansehen. Wenn du das nicht möchtest, musst du mir eine andere Definition nennen, mit der wir arbeiten können. Anders kommen wir nicht weiter.
rebro Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich dir keine andere Definition nennen kann, würde ich die Aufgabe gerne anhand deines Beispiels durchrechen:

Für jede reelle Zahl gibt es eine Folge rationaler Zahlen, die gegen diese reelle Zahl konvergiert.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Dann können wir jetzt die Stetigkeit benutzen.

Wir wollen ja zeigen, dass für beliebiges gilt, dass .
Sei also beliebig.
Dafür wählen wir uns zunächst mal eine Folge rationaler Zahlen in , die gegen konvergiert.

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