Berechnung der ersten 4 Glieder einer arithmetischen Reihe

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04.12.2014, 19:21	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der ersten 4 Glieder einer arithmetischen Reihe Meine Frage: Hallo, ich bin noch sehr ungeübt im Umgang mit dem Themengebiet der Folgen und Reihen, deshalb arbeite ich momentan einige Übungen durch. Ich bin hierbei gleich über folgende Aufgabe gestolpert: Die Summe einer arithmetischen Reihe aus 41 Gliedern beträgt 12423. Das 8. Glied ist 121. Wie heißen die ersten vier Glieder $\begin{eqnarray} a_1, a_2, a_3, a_4 \end{eqnarray}$ ? Meine Lösung soll lauten: $\begin{eqnarray} a_1=23, a_2=37, a_3=51, a_4=65 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe leider selbst keine Ansätze, außer dass mir bewusst ist, dass ich $\begin{eqnarray} a_8=121, S_{41}=12423, n=41 \end{eqnarray}$ gegeben habe. Wäre dankbar für jeden möglichen Denkanstoß!
04.12.2014, 20:05	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der ersten 4 Glieder einer arithmetischen Reihe Du kannst zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten a1 und d aufstellen, wenn Du Dir die entsprechenden Formeln zur arithmetischen Reihe noch mal anschaust. Viele Grüße Steffen
04.12.2014, 21:27	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der ersten 4 Glieder einer arithmetischen Reihe Wenn es die zwei sind, an die ich denke, würde ich demnach die Gleichung $\begin{eqnarray} S_n=\frac{n}{2}(2 a_1+(n-1)d) \end{eqnarray}$ bekommen? Also $\begin{eqnarray} 12423 = \frac{41}{2}(2a_1+40d) \end{eqnarray}$ Und diese könnte ich dann umformen zu $\begin{eqnarray} a_1=\frac{S_n}{2\frac{n}{2}}-\frac{n}{2}(n-1)d \end{eqnarray}$ ? Sprich: $\begin{eqnarray} a_1= \frac{12423}{41}-820d \end{eqnarray}$ ?
04.12.2014, 21:37	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der ersten 4 Glieder einer arithmetischen Reihe Die 820 soll wohl eine 20 sein, dann stimmt's. Prima, und an welche zweite Gleichung hast Du noch gedacht?
04.12.2014, 21:55	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der ersten 4 Glieder einer arithmetischen Reihe Eigentlich sollte das tatsächlich eine 820 sein. Ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen? $\begin{eqnarray} -\frac{n}{2}(n-1)d = -\frac{41}{2}(41-1)d = -\frac{41}{2}(40)d = -820 \end{eqnarray}$ ? Die zweite Gleichung an die ich nun gedacht hätte (wenn ich nun mit 20d weiterrechne), wäre $\begin{eqnarray} <br /> S_8=a_8+(a_8+2d)+(a_8+3d)+...+(a_8+7d) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} <br /> 121=(303-20d)+(303+220d)+(303+320d)...(303+720d) \end{eqnarray*}$ ?
04.12.2014, 22:09	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine korrekte Gleichung $\begin{eqnarray} 12423 = \frac{41}{2}(2a_1+40d) \end{eqnarray}$ lässt sich doch einfach umformen zu $\begin{eqnarray} \frac {12423 }{41}= a_1+20d \end{eqnarray}$ Und ansonsten kommst Du doch, wenn ich Dir ein a1 und ein d gebe, leicht aufs a2, nicht wahr? Aufs a3 dann auch, oder? Wie kommt man also mit a1 und d auf a8?
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04.12.2014, 22:27	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist die Methode $\begin{eqnarray} 121 = (303-20d)+(303-220d)+...+(303-820) \end{eqnarray}$ nicht korrekt? Denn meine Idee wäre gewesen durch zusammenfassen und umstellen d zu errechnen?
04.12.2014, 22:46	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vom Ansatz her ist die Idee richtig - wenn S8 gegeben wäre! Es ist aber nun mal nicht S8, sondern eben a8 gegeben. Und, wie gesagt, ist es recht einfach, mit a1 und d auf a8 zu kommen. Danach kannst Du in dieser Formel Deine Idee ausführen: a1 mit 303-20d ersetzen und d bestimmen. Wenn's Dir nichts ausmacht, schau ich mir das dann morgen an. Gute Nacht Steffen
04.12.2014, 23:16	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe & Hinweise! Ich habe es soeben gelöst über $\begin{eqnarray} a_8=a_1+7d<br /> 121=(303-20d)+7d<br /> d=14 \end{eqnarray}$ Und habe so $\begin{eqnarray} a_{1,2,3,4} \end{eqnarray}$ berechnen können. Vielen Daaank!
05.12.2014, 09:11	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, freut mich, dass Du's geschafft hast! Du siehst, es sind gar nicht mal so komplizierte Formeln, wie sie da zuerst standen, nötig. Und nichts zu danken, dafür ist das Matheboard schließlich da. Viele Grüße Steffen

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