Verständnisfragen zu lin. Algebra, kern(a) etc.

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GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfragen zu lin. Algebra, kern(a) etc.
Hallo habe folgenden Verständnisfragen:

1) Warum sind alle Polynome vom Grad kleiner/gleich 4 auch Vektoren? Bzw. bilden einen Vektorraum. Kann mir das leider nicht graphisch vorstellen. Vielleicht kann mir das einer erläutern..

2) Besitzt jeder Untervektorraum einen kern? Eigentlich ja, weil bei Matrizen die affin linear sind (durch 0 gehen/ Nullelement enthalten) bilden auch einen Kern. Alles andere wäre eine partikuläre Lösung + kern (inhomogene Matrix). Da eine Matrix sich im selbigen Vektorraum befinden wie ein Untervektorraum, sollte der Unterraum ebenfalls einen kern besitzen, oder habe ich einen Gedankenfehler?

3) Gibt es in einem Untervektorraum auch einen span( .... ), und wenn ja besitzt er dieselbe Bedeutung wie in einem "normalen" VR?

4) Darf man alle Betrachtungen über Matrizen 1:1 auch auf Vektoren anwenden? Denn ein Vektor kann eigentlich auch als lineare Abbildung betrachtet werden. Dann müsste jeder Vektor einen Kern besitzen, oder ist es dann der Vektor selbst?


5) Was bedeutet eigentlich die Lösung eines homogenen LGS? Es ist der gleich der Kern. Aber was genau ist mit dem Kern(a) gemeint? Ist es der Ursprung = Kern der Abbildungsmatrix, und alles andere Entwickelt sich um diesen Kern?

Hoffe auf Antworten Wink

Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu lin. Algebra, kern(a) etc.
Zitat:
Original von GOLFMKI
1) Warum sind alle Polynome vom Grad kleiner/gleich 4 auch Vektoren? Bzw. bilden einen Vektorraum. Kann mir das leider nicht graphisch vorstellen. Vielleicht kann mir das einer erläutern..

Was sind denn die Bedingungen für einen Vektorraum? Warum treffen diese auf die Menge aller Polynome vom Grad kleiner/gleich 4 zu? (Übrigens kann man auch Grad kleiner/gleich n nehmen.)

Zitat:
Original von GOLFMKI
2) Besitzt jeder Untervektorraum einen kern? Eigentlich ja, weil bei Matrizen die affin linear sind (durch 0 gehen/ Nullelement enthalten) bilden auch einen Kern. Alles andere wäre eine partikuläre Lösung + kern (inhomogene Matrix). Da eine Matrix sich im selbigen Vektorraum befinden wie ein Untervektorraum, sollte der Unterraum ebenfalls einen kern besitzen, oder habe ich einen Gedankenfehler?

Hier wirfst du die Begriffe durcheinander und produzierst das größtmögliche Chaos. Nur lineare Abbildungen haben einen Kern. Punkt.

Zitat:
Original von GOLFMKI
3) Gibt es in einem Untervektorraum auch einen span( .... ), und wenn ja besitzt er dieselbe Bedeutung wie in einem "normalen" VR?

Der Span ist die lineare Hülle irgendwelcher Vektoren. Wenn du also irgendwelche Vektoren nimmst, dann kannst du davon jederzeit den Span bilden. Dieser ist wiederum ein Untervektorraum.

Zitat:
Original von GOLFMKI
4) Darf man alle Betrachtungen über Matrizen 1:1 auch auf Vektoren anwenden? Denn ein Vektor kann eigentlich auch als lineare Abbildung betrachtet werden. Dann müsste jeder Vektor einen Kern besitzen, oder ist es dann der Vektor selbst?

Wie ich oben schon sagte, kann nur eine lineare Abbildung einen Kern haben. Du müßtest also erstmal mittels einer Matrix (oder eines Vektors) eine Abbildung definieren. Da gibt es sicherlich zig Möglichketen.

Zitat:
Original von GOLFMKI
5) Was bedeutet eigentlich die Lösung eines homogenen LGS? Es ist der gleich der Kern. Aber was genau ist mit dem Kern(a) gemeint? Ist es der Ursprung = Kern der Abbildungsmatrix, und alles andere Entwickelt sich um diesen Kern?

Aus den Koeffizienten eines homogenen LGS kann man eine Matrix A bilden und aus dieser wiederum eine lineare Abbildung, die dann so definiert ist: x --> A*x
Nur diese Abbildung hat einen Kern, der dann auch den Lösungsraum des homogenen LGS darstellt. Ich gebe aber zu, daß in diesem Zusammenhang etwas verkürzend auch vom Kern der Matrix A geredet wird.
 
 
GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von GOLFMKI
1) Warum sind alle Polynome vom Grad kleiner/gleich 4 auch Vektoren? Bzw. bilden einen Vektorraum. Kann mir das leider nicht graphisch vorstellen. Vielleicht kann mir das einer erläutern..

Was sind denn die Bedingungen für einen Vektorraum? Warum treffen diese auf die Menge aller Polynome vom Grad kleiner/gleich 4 zu? (Übrigens kann man auch Grad kleiner/gleich n nehmen.)


Die Bedingungen für einen Vektorraum ist die skalara Multiplikation und Addition. Also die 8 Vektorraumaxiome. Manche dieser Vektorraumaxoime kann man sich "sparen" wenn man erst nachweist, dass es sich um einen UVR handelt. [ 1) Nullelement enthalten, 2) keine leere Menge, 3) "unendliche Ausdehnung" ]. Es ist doch allgemein nicht umbedingt so, dass ein Polynom das Nullelement besitzt. Es kann ja genauso gut auf der Y-Achse verschoben sein und es wäre somit nichtim Vektorraum. Insgesamt frage ich mich, was die Null für eine Bedeutung hat in einem Vektorraum. Die Null sagt eigentlich aus, dass es eine Basis gibt in dem der Vektorraum aufgespannt wird. Und falls meine lin. Abbildung (kann man auch lineare Abbildung auch zu Polynomen sagen oder muss diese lin. Abbildung erst aus den Koeffizienten des Polynoms erzeugt werden?), die Null nicht enthält hat diese keinen Basisbezug?

Und es tut mir Leid wenn ich für Chaos sorge, aber auch nach ausführlicher Betrachtung des Skriptes bleiben diese Verständnisfragen offen.

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von GOLFMKI
3) Gibt es in einem Untervektorraum auch einen span( .... ), und wenn ja besitzt er dieselbe Bedeutung wie in einem "normalen" VR?

Der Span ist die lineare Hülle irgendwelcher Vektoren. Wenn du also irgendwelche Vektoren nimmst, dann kannst du davon jederzeit den Span bilden. Dieser ist wiederum ein Untervektorraum.


Also würde es theoretisch auch einen Untervektorraum von einem Untervektorraum geben.
Welche Bedeutung besitzt ein Untervektorraum? Denn der Beweis das es sich um einen Untervektorraum handelt, ist nicht gerade eines der schwersten Aufgaben (im Moment zumindest). Aber was bedeutet dieser genau? Wikipedia sagt dazu nur: numerische Lösungsvariante für sehr große LGS et cetera. Nun kommt die genaue Bedeutung des UVR nicht ganz durch, wie der UVR nun mit einem LGS zusammenhängt? (Ist ein LGS überhaupt gleichzeitig mit einer lin. Abbildung verbunden? [Wie du sagtest, dass durch die Koeffizienten einer Matrix A erst eine lin. Abbildung erzeugt werden soll, frage ich mich was dann eine Matrix A ist, wenn diese nicht eine lin. Abbildung ist?])

Du merkst sicherlich, desto mehr Gedanken man sich über eine Thematik macht, desto mehr Fragen kommen auf. Vielen Dank, dass du dir die Zeit nimmst. Freude

Gruß


edit
Habe mich nochmal mit Abbildungmatrizen auseinandergesetzt:

Man hat ein Polynom oder eine Matrix A gegeben.
1) Die Koeffizienten werden in eine Matrix geschrieben (Polynom)
2) Diese Koeffizentenmatrix wird mit der kanonischen Basis verrechnet und erhält daraus die lin. Abbildung des Polynoms bzw. der Matrix.

-> ist dieser Weg korrekt? (Aber was kommt heraus wenn man diese lin. Abbildung wieder mit der kanonischen Basis im skalar berrechnet? Und was hat die lin. Abbildung für einen Zweck in der Mathematik (Kann nicht genausogut mit der Matrix A gerechnet werden?)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GOLFMKI
[ 1) Nullelement enthalten, 2) keine leere Menge, 3) "unendliche Ausdehnung" ].

Wenn (1) gilt, ist (2) automatisch erfüllt. Und was soll das sein: "unendliche Ausdehnung" ?

Zitat:
Original von GOLFMKI
Insgesamt frage ich mich, was die Null für eine Bedeutung hat in einem Vektorraum. Die Null sagt eigentlich aus, dass es eine Basis gibt in dem der Vektorraum aufgespannt wird.

Unfug. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition. Nicht mehr und nicht weniger.

Zitat:
Original von GOLFMKI
Es ist doch allgemein nicht umbedingt so, dass ein Polynom das Nullelement besitzt. Es kann ja genauso gut auf der Y-Achse verschoben sein und es wäre somit nichtim Vektorraum.

Langsam. Wir betrachten die Menge aller Polynome vom Grad <= 4. Da ist natürlich auch das Null-Polynom enthalten. Jetzt mußt du zeigen, daß diese Menge einen Vektorraum bildet.
GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von GOLFMKI
[ 1) Nullelement enthalten, 2) keine leere Menge, 3) "unendliche Ausdehnung" ].

Wenn (1) gilt, ist (2) automatisch erfüllt. Und was soll das sein: "unendliche Ausdehnung" ?


Ja das stimmt aus 1) folgt automatisch 2). Also 3) ist die skalara Multiplikation mit einem beliebigen Wert und die Addition von Vektoren wieder im VR liegen.

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von GOLFMKI
Insgesamt frage ich mich, was die Null für eine Bedeutung hat in einem Vektorraum. Die Null sagt eigentlich aus, dass es eine Basis gibt in dem der Vektorraum aufgespannt wird.

Unfug. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition. Nicht mehr und nicht weniger.


Wenn es das Nullelement nicht gibt, gibt es doch keine Basis? Denn jede Basis besitzt das Nullelement und ist z.b. der Schnittpunkt aller Einheitsvektoren bei der kanonischen Basis. Denn auch die skalare Multiplikation der Abbildungsmatrix mit der Lösung des homogenen LGS ergibt den Nullvektor (der Vektor von der Abbildungsmatrix zum Nullelement hin, ist gleich der Lösungsvektor // vorausgesetzt homog. LGS) . Somit sollte bei jeder affin linearen Gleichung auf irgendeine Art und Weise das Nullement erzeugbar sein, oder? Und für mich ist das Nullelement, der Schnittpunkt aller "Basisfreiheitsgeraden" (z.b. kanonische Basis / 3 Freiheitsgrade im R³).

1] Weil im Umkehrschluss kommt es mir logisch vor. Weil ohne Nullelement gibt es keinen VR (8]Axiome) -> keine Basis.

2] Zudem besteht eine Basis (kanonische Basis) immer aus lin. unabhängiger Vektoren. Somit muss bei dieser Basis immer auf triviale Art und Weise das Nullelement erzeugbar sein.

Ich schätze, ich habe irgendwo einen massiven Gedankenfehler eingebaut, oder? Forum Kloppe


Zitat:
Original von klarsoweit
[quote]Original von GOLFMKI
die Menge aller Polynome vom Grad <= 4. Da ist natürlich auch das Null-Polynom enthalten. J


Ich habe bei meiner Überlegung vergessen, dass die Menge aller Polynome betrachtet wird. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GOLFMKI
1] Weil im Umkehrschluss kommt es mir logisch vor. Weil ohne Nullelement gibt es keinen VR (8]Axiome) -> keine Basis.

2] Zudem besteht eine Basis (kanonische Basis) immer aus lin. unabhängiger Vektoren. Somit muss bei dieser Basis immer auf triviale Art und Weise das Nullelement erzeugbar sein.

Diesen Aussagen stimme ich prinzipiell zu, wobei es korrekt heißen muß: Bei einer Basis ist das Nullelement immer nur auf triviale Art und Weise erzeugbar .

Bei den anderen Aussagen ist mir nicht so ganz klar, was du sagen willst.
GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GOLFMKI
Die Null sagt eigentlich aus, dass es eine Basis gibt in dem der Vektorraum aufgespannt wird.


Das ist der Kern meiner Frage.
Kurzfassung: Gäbe es kein Nullelement, gibt es keine Basis. Denn jede Basis besitzt das Nullelement. Ist das richtig?

--> Was mich dann widerum stutzig macht ist dann folgender Gedankengang:

Man habe ein inhomogenes LGS. Die Lösung des inhomogenen LGS ist die partikuläre Lösung und der Kern(A) [=RV der Lösung]. Die Lösungsmenge des inhomogenen Systems besitzt unendlich viele Lösungen. Was dabei wichtig ist, ist die Tatsache, dass die partikuläre Lösung der Stützvektor des RV ist. Somit geht die "Kernlösung (Kern(A)) nicht durch das Nullelement. Also besitzt die Lösungsmenge des inhomogenen LGS nicht das Nullelement. Also ist die Lösungsmenge des inhomogene LGS schonmal kein Unterraum. Aber wenn etwas kein Unterraum ist, ist automatisch eins der acht Vektorraumaxiome nicht erfüllt. Ist die Lösungsmenge nicht in einem Vektorraum oder was ist die Lösungsmenge in diesem Falle?

Hoffe, dass der Gedankengang nachvollziehbar ist. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GOLFMKI
Das ist der Kern meiner Frage.
Kurzfassung: Gäbe es kein Nullelement, gibt es keine Basis. Denn jede Basis besitzt das Nullelement. Ist das richtig?

Wenn es kein Nullelement gibt, dann ist der betrachtete Raum kein Vektorraum. Somit ist es obsolet von einer Basis zu reden. Das Nullelement selbst ist niemals Element einer Basis, da eine Familie von Vektoren, die das Nullelement enthält, linear abhängig ist.
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