Gleichmäßige Konvergenz von verknüpften Funktionen

04.12.2014, 21:46

Widderchen

Gleichmäßige Konvergenz von verknüpften Funktionen

Meine Frage:
Ich habe folgendes Problem:
Es konvergiert eine Funktionenfolge fn gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f , wobei sich die fn im Vektorraum B(S), also dem Vektorraum der beschränkten, reellwertigen Funktionen (S eine Menge), befinden. Weiter sei h: R => R eine stetige Funktion. Zu zeigen ist nun, dass h*fn auch gleichmäßig gegen h*f konvergiert.

Vielen Dank!!
Widderchen

Meine Ideen:
Ich habe keine Ahnung wie ich die Beschränktheit der fk oder die gleichmäßige Stetigkeit von h, da h auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] gleichmäßig stetig ist, für diesen Beweis nutzen soll. Könnt ihr mir eine Beweisskizze oder Idee geben?

04.12.2014, 22:07

10001000Nick1

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von verknüpften Funktionen

Zitat:

Original von Widderchen
im Vektorraum B(S), also dem Vektorraum der beschränkten, reellwertigen Funktionen (S eine Menge)

Und was hat die Menge S damit zu tun? Ist das vielleicht der Definitionsbereich der Funktionen?

Ich würde sagen, die Aussage stimmt gar nicht.
Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} f_n: [1,\infty)\to\mathbb{R}, f_n(x):=\frac{1}{nx} \end{eqnarray*}$ .

Dann konvergieren die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f: [1,\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} h: [1,\infty)\to\mathbb{R}, h(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ gilt dann: $\begin{eqnarray*} (h\cdot f_n): [1,\infty)\to\mathbb{R}, (h\cdot f_n)(x)=\frac{x}{n} \end{eqnarray*}$ . Diese Funktionenfolge konvergiert aber nicht gleichmäßig (jedoch punktweise) gegen $\begin{eqnarray*} h\cdot f\equiv 0 \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 10:32

Widderchen

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Hallo,

ja, S ist der Definitionsbereich bzw. die Menge, auf welcher der Vektorraum B(S) operiert. In der Aufgabe steht, dass S einfach eine Menge ist. Ich formuliere die aufgabe erneut:

Sei S eine Menge und {fn}, n in N eine Folge von funktionen aus B(S), in welchem die fn gleichmäßig gegen f auf s konvergieren. Sei h: R => R eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Verknüpfung der Funktionen h * fn gleichmäßig gegen h*f auf S konvergiert.

Ich soll hierbei die gleichmäßige Stetigkeit von h auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall [a,b] verwenden.

Du hast in deinem Beispiel ein halboffenes Intervall für h gewählt, damit ist dies doch kein Gegenbeispiel, oder??

05.12.2014, 13:19

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ muss auf derselben Menge definiert sein wie die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , d.h. auf $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Sonst macht doch die Multiplikation $\begin{eqnarray*} h\cdot f_n \end{eqnarray*}$ gar keinen Sinn. verwirrt

Steht da vielleicht noch irgendwo, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und beschränkt (also kompakt) sein soll?

Übrigens ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen (aber nicht beschränkt).

05.12.2014, 13:31

Widderchen

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In der Aufgabenbeschreibung steht lediglich, dass S eine "Menge" ist. Ob es sich hierbei um eine kompakte oder offene Menge handelt, wird hier nicht formuliert.

Dann muss S offenbar eine kompakte Menge (sprich: abgeschlossen und beschränkt) sein, da dein Gegenbeispiel sonst Wirkung zeigt! smile

Danke, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast!

05.12.2014, 13:37

10001000Nick1

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von verknüpften Funktionen
Noch eine Idee: Mir ist jetzt erst aufgefallen, dass im Threadtitel "... von verknüpften Funktionen" steht.
Geht es um die Verknüpfung (Komposition) von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} h\circ f_n \end{eqnarray*}$ ?

05.12.2014, 13:43

Widderchen

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Ja, wieso?? Dann ist es wohl gleichgültig, ob ich auf eine kompakten oder offenen Menge S operiere??

Der Operator ist ein Verknüpfungsoperator, kein Multiplikationsoperator!!

05.12.2014, 14:08

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Widderchen
Ja, wieso??

Muss ich die Frage verstehen? verwirrt

Weil Multiplikation etwas völlig anderes ist als Komposition von Funktionen; deswegen.

Ich hatte die Sternchen in

Zitat:

Original von Widderchen
Zu zeigen ist nun, dass h*fn auch gleichmäßig gegen h*f konvergiert.

als Multiplikationszeichen interpretiert.

Gut, dann schreib dir am besten erstmal auf, was es bedeutet, dass die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergieren, und dass $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stetig ist, und was du zeigen willst.
Damit siehst du dann vielleicht schon einen Weg, wie man die Aussage beweisen könnte.

05.12.2014, 14:27

Widderchen

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Ich habe nur versucht zu scherzen! Selbstverständlich weiß ich, dass Verknüpfungs- und Multiplikationsoperator nicht dasselbe sind! XD

Nein, das * sollte ein Verknüpfungszeichen darstellen.

Ok, zu zeigen ist ja, dass das Supremum von h*fn - h*f für n gegen unendlich gegen "0" läuft.

ich weiß, dass das supremum von fn - f gegen "0" konvergiert für n gegen unendl.

Gegeben ist die Stetigkeit von h: das heißt
Für alle Epsilon > 0 exist. delta >0 : sodass mit x - x0 < delta h(x) - h(x0) < epsilon gefolgert werden kann.
Ich weiß, dass ich die Stetigkeitsbedingung fehlerhaft formuliert habe.

Ich muss irgendwie die gleichmäßige Stetigkeit von h auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] verwenden, um auf die Aussage zu kommen. Die gleichmäßige Stetigkeit von h auf [a,b] ist ein stärkeres Stetigkeitskriterium als die oben formulierte.

Allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich das geschickt verwenden kann. Irgendwie muss ich die dreiecksungleichung bzgl. der Suprema und auch bzgl. der Supremumsnorm anwenden, um eine geeignete abschätzung zu erhalten, die dann gegen Null konvergiert.

Viele Grüße
Widderchen

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