Berechnung des Limes

04.12.2014, 23:27	blessinessi	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Limes Meine Frage: ich muss als Übung drei Grenzwerte berechnen, und ich wolte von Euch wissen, ob das so reicht, wie ich es gemacht habe. Ich muss mich morgen davfür an die Tafel melden, also wäre schön wenn Ihr mir weiter helfen könntet! Meine Ideen: zum ersten Beispiel $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } n!/n^n \end{eqnarray}$ = n/n * (n-1)/n ... 1/n da alle Folgeglieder ab (n-1)/n < 1 sind und multipliziert werden, muss der ganze Ausdruck kleiner sein, als jedes einzelne Folgeglied => $\begin{eqnarray} 0 \leq a_{n} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ durch das Sandwich-Lemma muss ja dann die Folge in der Mitte auch 0 werden und so ungefähr bin ich auch bei $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{2^n}{n!} \end{eqnarray}$ vorgegangen. bei $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray}$ weiß ich zwar theoretisch, dass auch 0 rauskommt, aber weiß nicht recht wie ich es aufschreiben soll. reicht mein Ansatz als Lösung? Stimmt's überhaupt?
04.12.2014, 23:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Sandwích-Begründung ist Ok - nach der guten Darstellung nehme ich an, dass du die zweite Aufgabe auch hingekriegt hast. Bei der dritten Aufgabe hat man nun verschiedene Möglichkeiten, die meisten laufen auch wieder auf ein Sandwich hinaus - ich nenne mal nur zwei: 1) Per Induktion $\begin{align} 2^n \geq n^3 \end{align}$ für "genügend große" $\begin{align} n \end{align}$ per Vollständiger Induktion nachweisen. 2) Binomischen Satz nutzen: $\begin{align} 2^n = (1+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \geq \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \end{align}$ . Beiden gemeinsam ist, dass $\begin{align} 2^n \end{align}$ nach unten durch ein Polynom dritten Grades in $\begin{align} n \end{align}$ abgeschätzt wird, was dann das Sandwich ermöglicht.
05.12.2014, 00:27	blessinessi	Auf diesen Beitrag antworten »
wie gehts jetzt weiter? also wenn $\begin{eqnarray} 2^n \geq n^3 \end{eqnarray}$ gilt, dann muss auch $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \geq (n+1)^3 \end{eqnarray}$ gelten $\begin{eqnarray} 2^{n+1}= 2^n + 2^n \geq n^3 + n^3 \end{eqnarray}$ es gilt: $\begin{eqnarray} (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 +3n+1 \end{eqnarray}$ wie mach ich jetzt weiter, steh auf der Leitung
05.12.2014, 08:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie gehts jetzt weiter? Wenn man mit der Axt zu Werke geht, könnte man folgendes nutzen: Für n >= 7 ist $\begin{eqnarray} n^3 \geq 7n^2 \end{eqnarray}$ . Damit kannst du ein n³ in n³ + n³ nach unten abschätzen.

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