Lineare Abbildungen mit f^2 und g = id - f

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Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen mit f^2 und g = id - f
Meine Frage:
Hallo!

1) Es sei V ein Vektorraum und f:V => V eine lineare Abbildung mit der eigenschaft f^2 = f . Zeigen Sie, dass die Abbildung g = id - f die gleiche Eigenschaft hat, dass Ker f = Im g und Im f = Ker g gilt und dass V die direkte summe dieser beiden Unterräume ist.

2) Der vektorraum sei die summe der beiden Unterräume V1 und V2, und es seien Linearformen l(1) aus V(1)* und l(2) aus V(2)* gegeben. Zeige, dass es genau dann eine Linearform f in V* mit den eigenschaften "l eingeschränkt auf V(1)" = l(1) und "l eingeschränkt auf V(2)" = l(2) gibt, wenn
l(1) eingeschränkt auf V(1) Schnitt V(2) = l(2) eingeschränkt auf V(1)

(Mengen-)Schnitt V(2) .



Meine Ideen:
Meine Ideen:
Im Grunde muss ich doch die Inklusionen Kerf in Im g und Im g in Ker f zeigen, um die Gleichheit zu beweisen. analog verfahre ich auch mit Im f = Ker g. Ich nehme mir also einen Vektor v aus Ker f und bilde diesen unter f ab: f(v) = 0. woher weiß ich jetzt, dass das ein element aud Im g ist???

Zum zweiten Problem habe ich ein kommutatives Diagramm aufgestellt mit meinen Unterräumen und den zugehörigen dualen Unterräumen. allerdings weiß ich an dieser stelle nicht weiter.

Vielen dank für die Hilfe!!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vorschlag: Fange mit dem Anfang an, d.h. zeige g^2=g. das zeigt man, indem man g auf ein x anwendet.
Eine lineare Abbildung f mit ^2=f nennt man Projektion, dafür (und gleichzeitig für g, wenn du den ersten Teil fertig hast) kann man leicht zeigen V=Ker f+Im f ist eine direkte Summe.
Wenn du mir das bewiesen hast, helfe ich weiter ... bis dann ...
 
 
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!!

d.h. also: Sei x element aus V, dann ist g(x) = id(x) - f(x) = x - f(x)

Wende g erneut an, dann erhält man: g^2(x) = g(g(x)) = g(id(x) - f(x))

= g(x - f(x)) = g(x) - g(f(x))

Es gilt nur dann g^2 (x) = g(x), wenn g(f(x)) = 0 ist, oder??? das heißt also, wenn
Ker g = Im f.

Ok, den Teil habe ich verstanden! Und wie zeige ich jetzt Ker f = Im g ??? Ich vermute mal, das gewinne ich aus der Projektionseiganschaft von f, richtig??

Also: Sei x element aus V, dann ist f(x) = id(x) - g(x) (durch Umstellen)
= x - g(x)
Wende nun f erneut an, dann erhält man: f^2(x) = f(f(x)) = f(id(x) - g(x))

= f(x- g(x)) = (Lin.) f(x) - f(g(x)). Aber für f gilt f^2 = f. also muss auch hier:

f(g(x)) = 0 gelten, woraus unmittelbar Ker f = Im g gefolgert werden kann.

Ja, jetzt ist es mir klar!!

Und für den zweiten Teil der aussage muss ich doch lediglich die dimensionsformel für lineare Abbildungen anwenden. Denn dann folgt:
V = Ker f + Im f = Im g + Ker g. Genügt dies??? da bin ich mir nicht sicher!!

Beim zweiten Problem habe ich immer noch keinen lösungsansatz!! Da benötige ich dringend Hilfe!!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht mir viel zu schnell. Du versuchst wieder den 3. Schritt vor dem 1. Schritt zu machen. Bitte noch einmal von vorn, du hast noch nicht einmal gezeigt, dass g eine Projektion ist.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, du hast Recht, ich habe die Projektionseigenschaft von g einfach vorausgesetzt.

Zeige zunächst, dass g die Projektionseigenschaft g^2 = g besitzt.

g(x) = id(x) - f(x) = id(x) - f(f(x)) = id(x) - f^2(x) = id(id(x)) - f^2(x) = id^2(x) -

f^2(x) = (id(x)-f(x))*(id(x)-f(x)) = g(x)*g(x) = g^2(x)

Ist das so richtig?
Anschließend kann ich dann den unten vorgestellten ansatz verwenden, oder ist dieser Ansatz nicht korrekt?

Viele Grüße
Widderchen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Grausam falsch. Wie kommst du denn auf id^2(x) -f^2(x) = (id(x)-f(x))*(id(x)-f(x)) ???
.
Der rechte Ausdruck hat in Vektorräumen keine Bedeutung, denn Vektoren kann man nicht miteinander multiplizieren.

Tipp 1: Berechne (langsam, sorgfältig und fehlerfrei Augenzwinkern )


Tipp 2: zeige (direkt)
zeige (wieder mit hilfe von x)
zeige (wie oben)

Tipp 3: Berechne und und folgere daraus bzw.

Ich glaube, jetzt hast du erst mal genug zu tun ... bis später ...
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Elvis, jetzt habe ich es:

Zeige zunächst, dass g^2(x) = g(x):

Es gilt: g^2(x) = (id - f)^2 (x) = (id - f)(id - f)(x) = (id - f) (id(x) - f(x)) = (id - f)(x - f(x))

= id(x - f(x)) - f(x - f(x)) = id(x) - id(f(x)) - f(x) - f(-f(x)) = x - f(x) - f(x) + f(x)

= x - f(x) = id(x) - f(x) = (id - f) (x) = g(x) .

Damit hat g dieselbe Eigenschaft wie f.
Anschließend muss gezeigt werden, dass ker g = im f
Zeige zunächst die Inklusion Ker g in Im f
Wenn also x in Ker g => x in Im f

Sei also x in Ker g . Dann folgt über die Definition von g :

g(x) = (id - f)(x) = id(x) - f(x) = x - f(x) = 0

Daraus folgt: f(x) = x , also x in Im f Damit ist die Inklusion Ker g in Im f gezeigt.

Zeige nun die Inklusion Ker g in Im f.
Dazu muss zunächst bewiesen werden, dass aus g = id - f => f = id - g
Es gilt ja für x aus V:

g(x) = (id - f)(x) = id(x) - f(x) = x - f(x) . Da x in V und f ein Endomorphismus ist, der wieder in V abbildet, also f(x) aus V, muss auch g(x) aus V sein. Da V ein Vektorraum ist und unter Vektoraddition abgeschlossen ist, kann die oben notierte Gleichung algebraisch umgeformt werden.
Man erhält also:

f(x) = x - g(x) = id(x) - g(x) = (id - g)(x) Damit ist f = id - g

Nun zum Beweis der Inklusion Im f in Ker g
Sei dazu y = f(x) aus Im f . Wende nun g auf y an. Man erhält:

g(y) = g(f(x)) = (id - f)(f(x)) = id(f(x)) - f(f(x)) = f(x) - f^2(x) = f(x) - f(x) = 0

Daraus ergibt sich also y = f(x) aus Ker g. Damit ist die erste Gleichheit bewiesen: Im f = Ker g

Die zweite Identität wird analog bewiesen und wird hier nicht angeschrieben. Augenzwinkern
Jetzt habe ich es verstanden. Danke, Elvis!

Doch wie leite ich daraus nun her, dass V als direkte Summe dieser beiden Unterräume dargestellt werden kann, oder war die Dimensionsformel schon der richtige Ansatz dafür???
Und Problem 2 sowie andere Probleme sind immer noch nicht gelöst!!! seufz
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, das sind doch schon gewaltige Fortschritte, wenn man bedenkt, dass die Menschheit (je nach Definition von "Menschheit") Millionen Jahre ohne lineare Algebra auskommen musste.

Der letzte Trick für heute bestehe darin, dass wir die Gleichung auf anwenden, und dann folgt daraus nach dem bislang Bewiesenen, dass ist.
Die Direktheit der Summe zu zeigen, d.h. sollte machbar sein.

Tschüss bis morgen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, da bin ich wieder. Jetzt kommt ein richtig gutes Stück Mathematik, da hat es sich gelohnt, die ganze Nacht daran zu arbeiten. Wenn wir den Beweis fertig haben, wissen wir, dass jede lineare Projektion den Vektorraum in die direkte Summe zerlegt.

Mein Tipp: Spiele ein bißchen mit den Voraussetzungen und es wird herauskommen .

Das ist fast ein Wunder, das ist allerfeinste Mathematik. Wenn du dich noch fragst, wozu das gut sein soll, dann empfehle ich "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" von John von Neumann, 1932. In der Physik des 20. Jahrhunderts, die u.a. das Verständnis für das Verhalten von Atomen, Sonnen, Sonnensystemen, Planeten, Molekülen, Chemie, Biologie, Pflanzen, Tieren, Menschen wesentlich erweitert hat, spielt die lineare Algebra der Hilberträume ( das sind komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt ) die Hauptrolle, und für das Verständnis der physikalisch wichtigen linearen Operatoren kommt den Projektionen eine sehr wichtige Rolle zu. Pythagoras hat gesagt "alles ist Zahl", Elvis sagt "alles ist Zahl und lineare Algebra".
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Überlegungen zu den Linearformen. Die eine Richtung des Beweises ist trivial, da eine Linearform nach Voraussetzung auf mit und auf mit übereinstimmt, muss auf dem Durchschnitt gelten. In der anderen Richtung würde ich mit einer Basis von anfangen und sie zu Basen von und erweitern (Basisergänzungssatz). Die Vereinigung ist dann eine Basis von , es genügt die Linearform durch und auf dieser Basis zu definieren und ihre Eindeutigkeit nachzuweisen (der letzte Schritt ist vermutlich ein bißchen technische Fummelei).
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht erheblich einfacher:
1a)

1b) Es ist

Andererseits ist
.

Es ist also

Die andere Beziehung kann man durch Rollentausch von g und f auf dieselbe Weise zeigen.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

vielen Dank für die Informationen. Zu zeigen war ja noch ker f schnitt im f = {0}
Sei x aus Kerf schnitt Im f, dann gilt für dieses x
f(x) = 0 sowie x =f(y) für y aus V
Aus der zweiten Bedingung folg insbesondere durch Anwenden von f
f(x) = f(f(y)) = f^2(y) = f(y)

Und damit
0 = f(x) = f^2(x) = f(f(x)) = f(f(y)) = f^2(y) = f(y) = x
Daraus folgt x = 0 , also ist der schnitt der beiden unterräume der Nullvektorraum. Daraus folgt auch die Direktheit der Summe ker f plus im f = V


Zu Problem 2 muss ich noch überlegen, aber vielen Dank für die Tipps. Darauf wäre ich nicht gekommen ��
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Raven,

für mich ist es immer besser, einen Beweis etwas "ausschweifender" zu formulieren, um die Beweisidee nachvollziehen zu können. Aber natürlich hast du Recht, man kann den Beweis auch inhaltlich verdichten.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

also zu Problem 2 .
Die Hin-Richtung des Beweises ist, wie du sagtest offen sichtlich, und muss hier nicht näher erläutert werden.

Zur Rück-Richtung sei eine Basis {t1,...,tm} aus V1 Schnitt V2 gegeben. Man erweitere diese Basis gemäß Basisergänzungssatz zu einer Basis von V1 {t1,...,tm,v1,...,vn} und zu einer Basis von V2 {t1,...,tm,u1,...,ur}.
Da V die Summe der beiden Unterräume V1 und V2 ist, ist auch entsprechend die Vereinigung der beiden konstruierten Basen eine Basis von V, also
{t1,...,tm,v1,...,vn,u1,...,ur} ist Basis von V.
Nun muss ich die gegebenen Linearformen irgendwie darauf anwenden, allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich das anstelle. Wie sieht die Linearform f , die durch l1 und l2 definiert werden soll, aus? Und wie weise ich die Eindeutigkeit von f bzw. l nach.

Grüße Widderchen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

0 = f(x) = f^2(x) = f(f(x)) = f(f(y)) = f^2(y) = f(y) = x

Das ist leider falsch. Warum sollte f(f(x))=f(f(y)) sein ?
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Weil x = f(y) nach Vora gilt
Wende ich nun f darauf an, so erhalte ich
f(x) = f(f(y)) = f^2(y) = f(y)
Wenn das nicht stimmen sollte, dann weiss ich auch nicht weiter!

Grüsse Widderchen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, du hast recht, ich habe das nicht gesehen, deshalb musste ich deine Erläuterung haben.

Meine Gleichung sieht so aus , wobei ich an der Stelle ausnutze, dass gilt .

Vorteil: Meine Gleichung hat 6 Glieder, deine Gleichung hat 8 Glieder. Durch deine Erläuterung verbesserst du deine Gleichung zu meiner.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Bestätigung, Elvis.
Da bin ich aber erleichtert! ^_^

Also ich hatte im vorigen Post die Basis von V aufgestellt. Allerdings muss ich irgendwie die Linearform f darauf anwenden. Ich kann f also so definieren, dass l1 auf die Basis von V1 greift, sowie l2 auf V2.

l1(a1*v1+...+an*vn + b1*t1+...+bm*tm)

und analog mit der Basis von V2 und l2 ???? Ich bin mir nicht sicher.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, die ai und bj sind selbstverständlich Koeffizienten aus dem Körper K.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Vielen Dank Raven,

für mich ist es immer besser, einen Beweis etwas "ausschweifender" zu formulieren, um die Beweisidee nachvollziehen zu können.


Man kann aber viel mehr lernen, wenn man sich elegantere Beweise anschaut.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Widderchen
Jeder Vektor liegt in oder , also kann man definieren für , und das ist wegen auf wohldefiniert.
Man kann gar nicht anders definieren, womit auch schon die Eindeutigkeit gezeigt ist (oder nicht ?). Ein indirekter Beweis für die Eindeutigkeit ist sicher auch möglich, nimm an es gibt 2 verschiedene Linearformen, die l1 und l2 fortsetzen, dann gibt es ein x in V, wo sich die beiden Fortsetzungen unterscheiden, liegt x in V1, dann sind nicht beide Fortsetzungen von l1, genau so für V2.
Die Argumentation mit dem Basisergänzungssatz brauchen wir (vielleicht, vielleicht auch nicht) lediglich für den Beweis, dass die Fortsetzung eine Linearform, also linear ist. Das gilt nämlich automatisch für jede auf einer Basis definierte Abbildung.
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