Alle Zahlen finden, für die es eine lineare Abbildung gibt

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05.12.2014, 11:43	bob123	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Zahlen finden, für die es eine lineare Abbildung gibt Hallo Community, ich brauche nochmal Hilfe zu einer anderen Aufgabe, leider weiß ich hier gar nicht was ich tun soll und wie ich aufs Ergebnis komme... Ich habe a vorgegeben, Lambda muss ich finden und Mü muss ich finden. [attach]36330[/attach] Wäre über Lösungserstellung mit Hilfe von euch dankbar!
05.12.2014, 12:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast 3 Vektoren $\begin{eqnarray} x,y,z \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gegeben, die müssen linear abhängig sein, z.B. $\begin{eqnarray} x=uy+vz \end{eqnarray}$ , daher muss gelten $\begin{eqnarray} f(x)=uf(y)+vf(z) \end{eqnarray}$ , und das gibt Gleichungen für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ .
05.12.2014, 12:21	bob123	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist speziell dieses "u" und "v"? Sind das die Unbekannten?
05.12.2014, 12:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die kannst du berechnen, dann sind sie bekannt.
05.12.2014, 14:31	bob123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie jetzt? Ich versteh nicht wieso das mich zum Ergebnis führt... Ich hab jetzt mal u und v ausgerechnet, u ist -1 und v ist 1 Heißt das ich setze jetzt vor den Vektoren im R^5 diese Zahlen ein und löse dann das LGS?
05.12.2014, 14:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, wenn u und v richtig wären, was sie aber nicht sind, denn -10+3=-7 ist ungleich -1
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05.12.2014, 14:37	bob123	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs nochmal richtig abgeändert, hab mich nur verzettelt. Kannst du mir noch erklären, warum dies zum Ziel führt? Ich erhalte dann wenn ich ein LGS aufstelle folgendes: $\begin{eqnarray} 2x_1 - x_2 = 1<br /> -7x_1 + \lambda x_2 = -3<br /> -9x_1 + 3x_2 = -6<br /> -x_1 + \lambda x_2 = \lambda -1<br /> -\mu x_1 + 6x_2 = 0 \end{eqnarray}$
05.12.2014, 17:11	bob123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bin mir unsicher, aber ich habe das Gleichungssystem jetzt einfach mal gelöst, für x1 und x2 bekomme ich 1 raus. für das erste Lambda bekomme ich 4 raus, für das andere Lambda bekomm ich Lambda = Lambda raus... d.h. Lambda beliebig oder? Wieso ich hier das annehmen kann, weiß ich immernoch nicht.
05.12.2014, 18:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schon genug Variablen, da brauchst du nicht noch x1 und x2 zu erfinden. Wie du sicher bemerkt hast, ist $\begin{eqnarray} u=-1, v=1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f(x)=-f(y)+f(z)\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -6 \\ \lambda-1 \\ a-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ -9 \\ -1 \\ -\mu \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ \lambda \\ 3 \\ \lambda \\ 2a-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ \lambda-7 \\ -6 \\ \lambda-1 \\ 2a-6-\mu \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wenn das nicht zum Ziel führt, dann weiß ich auch nicht weiter ... ich sehe sofort die eindeutige Lösung.
06.12.2014, 12:11	bob123	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine ganz kurze Frage dazu: Habe ich dann zwei Lösungen für Lambda? Oder ist das ein entweder oder? Spricht erstes Lambda = 4 und zweites ist beliebig, dort wo die Gleichung Lambda - 1 = Lambda - 1 steht... Du hast mir aber immernoch nicht das was dahinter steckt erklärt... Wieso darf ich "Du hast 3 Vektoren $\begin{eqnarray} x,y,z \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gegeben, die müssen linear abhängig sein, z.B. $\begin{eqnarray} x=uy+vz \end{eqnarray}$ , daher muss gelten $\begin{eqnarray} f(x)=uf(y)+vf(z) \end{eqnarray}$ , und das gibt Gleichungen für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ." annehmen?
06.12.2014, 18:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu Frage 1: $\begin{eqnarray} \lambda=4 \wedge \lambda=\lambda \Leftrightarrow \lambda=4 \end{eqnarray}$ zu Frage 2: $\begin{eqnarray} dim \mathbb R^2=2\Rightarrow 3 \end{eqnarray}$ Vektoren $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ sind linear abhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists u,v \in \mathbb R : x=uy+vz \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ linear $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x)=f(uy+vz)=uf(y)+vf(z) \end{eqnarray}$ . Ist das nicht offensichtlich ?

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