Integral berechnen - aber wie?

05.12.2014, 12:49	nureinnick	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen - aber wie? Ich soll das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 {x^3 \cdot \sqrt{1-x^2}}dx \end{eqnarray}$ berechnen... Habe mich bereits mit partieller Integration daran versucht (mit $\begin{eqnarray} f(x)=x^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g'(x)= \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ aber das vereinfacht es mir eher nicht so... Komme dann nämlich auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot x^4 - \int_0^1 \frac{x^5}{{4 \cdot \sqrt{1-x^2}}} dx \end{eqnarray}$ Habe mich auch schon an einen Integralrechner gewendet, der mir dann zeigte, dass da als Stammfunktion $\begin{eqnarray} \frac {x^4}{5} \cdot \sqrt{-x^2+1} - \frac{x^2}{15} \cdot \sqrt{-x^2+1} - \frac {2}{15} \cdot \sqrt{-x^2+1} \end{eqnarray}$ und somit vereinfacht $\begin{eqnarray} \frac{3x^4-x^2-2}{15} \cdot \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ herauskommen soll, aber wie er darauf kam, konnte er mir nicht zeigen, ergo hilft mir das auch nicht sonderlich weiter, ich muss ja auch wissen, wie man hier auf die Lösung kommen soll. Bin mit partieller Ableitung, Substitution und Partialbruchzerlegung soweit vertraut, aber wie man darauf kommen soll, ist mir ein Rätsel. Danke für hilfreiche Antworten.
05.12.2014, 13:04	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen - aber wie? Die Substitution $\begin{eqnarray} v=1-x^{2} \end{eqnarray}$ war bei mir erfolgreich.
05.12.2014, 14:52	nureinnick	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich komm irgendwie immer noch auf keinen grünen Zweig... $\begin{eqnarray} v=1-x^2 \rightarrow x^3=1-v^{\frac{3}{2}} \rightarrow \int_0^1 \sqrt v - v^2 (- \frac {dv}{2})= - \frac {1}{2} [ \frac {1}{2 \sqrt v} - 2v]_0^1= - \frac {1}{2} [ \frac {1}{2 \sqrt {1-x^2}} - 2-2x^2]_0^1 \end{eqnarray}$ Nur wenn ich jetzt die obere Grenze einsetze, teile ich durch Null, da müsste ich dann den Limes bilden und der würde gegen Unendlich gehen... Das Ergebnis soll aber $\begin{eqnarray} \frac {2}{15} \end{eqnarray}$ sein oder zumindest existieren
05.12.2014, 15:14	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist korrekt. Deine Umformungen sind aber schon deswegen falsch, weil Du von dem Integranden ja eine Stammfunktion bestimmen sollst. Du hast stattdessen abgeleitet! Weiterhin ist es hier nicht so sinnvoll, das $\begin{eqnarray} x^{3} \end{eqnarray}$ sofort durch $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auszudrücken. Vielmehr solltest Du zunächst $\begin{eqnarray} \frac{dv}{dx} \end{eqnarray}$ bilden, dann $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} dv \end{eqnarray}$ ausdrücken und schließlich den verbleibenden $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Term mit $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ nachsubstituieren. Probier das mal bis hierhin. Sollte gehen, wenn Du mit Substituton vertraut bist. Die Integrationsgrenzen mußt Du übrigens erstmal nicht mitsubstituieren, da wir am Ende mit der richtigen Stammfunktion arbeiten können.
05.12.2014, 15:17	nureinnick	Auf diesen Beitrag antworten »
Verdammt, hab ich schon wieder abgeleitet Passiert mir aber auch dauernd.
05.12.2014, 15:57	nureinnick	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeah, ich habs. Vielen Dank!
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