Lösung einer Ungleichung

05.12.2014, 14:45

xello

Lösung einer Ungleichung

Guten Tag zusammen!
Bitte entschuldigt zunächst den schlecht gewählten Themennamen, allerdings wusste ich nicht, wie mich mein Problem umschreiben soll.

Im Rahmen einer Industrieökonomik-Vorlesung meines VWL-Studiums, tauchte im Zusammenhang mit der Stabilität von Kartellen die folgende Ungleichung auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{K*(N-K+2)^2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(N-K+3)^2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ~\geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

Nun wird behauptet, dass diese Behauptung nur dann wahr ist, wenn N das Element eines bestimmten Intervalls ist, welches von K abhängt.
Ich möchte euch nun fragen, wie man hier vorgehen kann, da ich leider nach langer Rechnerei zu keinem sinnvollen Ergebnis gekommen bin.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Mfg

05.12.2014, 15:19

xello

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Noch eine kleine Anmerkung:
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} N,K ~\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N ~\geq K \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist die folgende:

$\begin{eqnarray*} N \in [ -2 - \frac{1}{1+K^\frac{1}{2}} + K, -2 + \frac{1}{1+K^\frac{1}{2}} + K ] \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 15:25

mYthos

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Die Lösungsmenge für N bei einem allgemeinen K ist sehr umfangreich und hängt naturgemäß von K ab.
Für K sollte eine entsprechende Einschränkung vorgenommen werden ..

mY+

05.12.2014, 15:46

xello

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Zitat:

Original von mYthos
Die Lösungsmenge für N bei einem allgemeinen K ist sehr umfangreich und hängt naturgemäß von K ab.
Für K sollte eine entsprechende Einschränkung vorgenommen werden ..

mY+

Danke für deine Antwort smile

Mein Ziel ist es allerdings auf das oben dargestellte Intervall zu kommen, irgendeine Idee?

Mfg

05.12.2014, 16:04

mYthos

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Deine nachgetragenen Anmerkungen hatte ich zuvor noch nicht gesehen.

Die Rechnung dürfte sich mittels Umstellen der Ungleichung derart, dass auf beiden Seiten jeweils ein Term steht, verhältnismäßig leicht erledigen lassen.
Wenn du dann jeweils den Kehrwert nimmst, kehrt sich das Relationszeichen um.
Ziehe beidseitig die Wurzel, K ist ohnehin größer als Null, daher erscheint dann auch im Term $\begin{eqnarray*} \sqrt K \end{eqnarray*}$ .
EDIT:
Die Klammerausdrücke sind beide positiv. Alternativ entsteht ohne Wurzelziehen eine quadratische Ungleichung, mittels der Lösungen der quadratischen Gleichung wird das Polynom in zwei Linearfaktoren zerlegt.

Ich bin jetzt für 2 Stunden weg, bei Bedarf kann ich mir das dann später genauer ansehen.

mY+

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