Basis der Schnittmenge zweier Zeilenräume |
| 05.12.2014, 14:51 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basis der Schnittmenge zweier Zeilenräume Hallo! Es sei V der Zeilenraum der Matrix A und W der Zeilenraum der Matrix B, wobei A = 7 4 1 5 2 -9 -5 9 7 11 0 -6 B = 1 4 5 3 5 6 -1 -5 1 11 4 -8 Finde basis von V Schnitt W. Meine Ideen: zunächst habe ich eine Basis von V und W bestimmt. Dazu habe ich den gauß-algorithmus angewandt. Bei der Matrix B erhalte ich dann (in Zeilenstufeform überführt): 1 4 5 3 0 14 26 20 0 0 14 22 Bedeutet das dann, dass alle drei zeilenvektoren der matrix A eine Basis von W bilden? Oder irre ich mich vollständig? Viele Grüße Widderchen |
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| 05.12.2014, 16:13 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Basis der Schnittmenge zweier Zeilenräume
Ja. Darüber reden wir, wenn das "Projektionsproblem" gelöst sein wird. Bis dann. |
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| 06.12.2014, 10:55 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nachdenken und rechnen ist immer besser als rechnen. Wenn die Zeilenvektoren von A x,y,z und die Zeilenvektoren von B u,v,w heißen, dann liegen alle Linearkombinationen in , für die ax+by+cz=du+ev+fw gilt. Den Rang dieses LGS mit den Variablen a,...,f musst du bestimmen. Übrigens kann der Durchschnitt zweier 3-dimensionaler Untervektorräume höchstens die Dimension 3 haben. |
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| 07.12.2014, 11:12 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Elvis, wenn ich diese Parameter a,...,f ermittelt habe, und in die Ausgangsgleichung einsetze, liefert mir das einen Vektor. Dann ist dieser Lösungsvektor der Basisvektor von V schnitt W, oder muss noch etwas berücksichtigt werden? Das LGS liefert mir eine 4 x 6 - Matrix. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob die Werte für a,...,f korrekt sind. |
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| 07.12.2014, 11:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann nicht nur einen Vektor liefern. Sind die Räume und nicht 3-dimensional ??? Der Summenraum muss dann mindestens 3-dimensional (falls ) oder 4-dimensional sein. Im ersten Fall ist , im zweiten Fall ist . Das gilt wegen Zum rechnen bin ich natürlich zu faul, das musst du machen. Wenn du es mir ausführlich vorrechnest, schaue ich mir das auch an. |
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| 07.12.2014, 13:16 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also es muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden: 7a + 2b + 7c - d -5e - f = 0 4a - 9b +11c -4d -6e -11f = 0 a - 5b -5d + e -4f = 0 5a +9b -6c -3d + 5e +8f =0 Eliminiere zunächst e: 42a +12b +42c -6d -30e -6f =0 22a +57b -13c +14d +49f=0 72a -138b+42c-156d -126f=0 72a+57b +6c -24d +42f=0 Anschliessend habe ich a eliminiert, allerdings stehen da unschöne rationale Koeffizienten. Nachdem ich noch b eliminiert habe, erhalte ich noch eine "unschöne" Gleichung in Abhängigkeit von c,d und e: 14 95/119 *c + 10 88/119*d - 4 1/17*f = 0 Umstellen nach f liefert: f = 3 104/161 *c + 2 104/161*d Ich kann nun beliebige Werte oder Parameter für c und d wählen und dann weiterrechnen, oder??? |
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| 07.12.2014, 13:22 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, die beiden Zeilenräume sind drei dimensional, da alle drei Zeilenvektoren der Matrizen A und B linear unabhängig sind. Gut, dann müssen gemäß Dimensionsformel 2 Basisvektoren herauskommen, da V ungleich W gilt. |
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| 07.12.2014, 17:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
c und d frei wählen bedeutet, dass die Lösungsmenge des LGS ein 2-dimensionaler Untervektorraum des 4-dimensionalen Vektorraums V ist. Passt. Nicht verrechnen, dann bist du fertig. Viel besser, einfacher, schneller und sicherer ist aber, nach Gauß nur mit Matrizen statt mit Gleichungen zu arbeiten. 
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| 07.12.2014, 18:54 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Elvis, ich habe c = s und d = t gewählt. Damit ist f wie im vorigen Post ermittelt. Für die Parameter a , b und e erhalte ich dann ungefähr: a = 0,12913*s - 1.09814*t b = -2,94*s - 2,94*t e = -0,320684*s - 3,43886*t Abschließend habe ich lediglich die Werte für a, b, und c in die linke Seite der Ausgangsgleichung eingesetzt. Ich erhalte somit die in Abhängigkeit von s und t konstruierte Basis von V Schnitt W : Die oben aufgeführten Vektoren müssten also die Basisvektoren von V Schnitt W sein. |
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| 07.12.2014, 19:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Prinzip ja. Meistens bekommt man bei drei mal rechnen vier verschiedene Ergebnisse heraus. 
Ich würde mit rationalen Zahlen rechnen, nicht mit Dezimalbrüchen. |
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| 07.12.2014, 20:03 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das habe ich versucht, allerdings konnte mein Taschenrechner die rationalen Zahlen nicht mehr in der Bruchdarstellung ausgeben. Außerdem bin ich ein genauso fauler Rechner wie du, Elvis. XD Die Hauptsache ist, dass ich die Lösung bzw. den Lösungsweg dieser Aufgabe (und auch der anderen Probleme) verstanden habe. Und dafür bin ich dir dankbar, Elvis. 
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| 08.12.2014, 11:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Viel und fleißig rechnen stärkt die mathematischen Fähigkeiten. Ein Musterbeispiel dafür ist C.F.Gauß. Erst wenn man lange Zeit viel gerechnet hat darf man faul werden.
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| 08.12.2014, 13:07 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, soo schlimm sind die rationalen Zahlen auch nicht : die Zeilenvektoren sind eine Basis des Schnittraumes. 
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| 09.12.2014, 16:11 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
An Dopap, wie kommst du auf diese Lösung?? Ich habe sehr lange gerechnet, bin allerdings nicht zu diesem Ergebnis gekommen!! Gruß Widderchen |
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| 09.12.2014, 18:11 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo? Kann mir irgendjemand behilflich sein? Ich benötige die Lösung dringend. Offenbar ist meine berechnete Lösung falsch. Dopaps Lösung entspricht höchstwahrscheinlich eher der erwarteten Lösung (aufgrund der einfachen Struktur!!) . Allerdings weiß ich nicht, wie Dopap diese Lösung ermittelt hat. ich habe die 4 x 6 -Matrix auch nochmal mit dem Gauß-Verfahren gelöst, allerdings erhielt ich auch mit diesem Ansatz keine vernünftige Lösung. Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen, danke!! Gruß Widderchen. |
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| 09.12.2014, 18:51 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich wollte mich nicht wirklich einmischen, und zu meiner Schande ( eben auch faul ) hat mein TR mittels 'IBASIS(A,B) ' das Ergebnis geliefert. Aber mal Klartext: es geht hier um eine 2-dim-Ebene im Dafür gibt es beliebig viele Darstellungen. Woher willst du also wissen, ob deine Darstellung falsch ist ? http://de.wikipedia.org/wiki/Zassenhaus-Algorithmus |
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