Parametrisiertes Integral entlang Dreieck

05.12.2014, 17:28	Midna	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisiertes Integral entlang Dreieck Hallo, ich möchte ein Integral des Vektorfelds $\begin{eqnarray} \vec F=\left(\begin{array}{c}-\frac{x_2^2}{2} \\ x_1 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ entlang eines Dreiecks $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ berechnen. Im Lehrbuch steht als Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ , ich komme aber auf $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ . Zunächst parametrisiere ich $\begin{eqnarray} \vec{\gamma_1}(t)=\left(\begin{array}{c}t \\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{\gamma_2}(t)=\left(\begin{array}{c}1 \\ t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{\gamma_3}(t)=\left(\begin{array}{c}1-t \\ 1-t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ und berechne dann $\begin{eqnarray} \int_\Gamma \vec F(\vec x) \cdot \mathrm{d}\vec l=\sum_{j=1}^3 \int_0^1 \vec F(\vec{\gamma_j}(t))\dot{\vec{\gamma_j}}(t)\mathrm{d}t=\int_0^1 \vec F(\vec{\gamma_1}(t))\dot{\vec{\gamma_1}}(t)\mathrm{d}t+\int_0^1 \vec F(\vec{\gamma_2}(t))\dot{\vec{\gamma_2}}(t)\mathrm{d}t+\int_0^1 \vec F(\vec{\gamma_3}(t))\dot{\vec{\gamma_3}}(t)\mathrm{d}t \\<br /> =\int_0^1 \left(\begin{array}{c}0 \\ t \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array}\right)\mathrm{d}t+\int_0^1 \left(\begin{array}{c}-\frac{t^2}{2} \\ 1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array}\right)\mathrm{d}t+\int_0^1 \left(\begin{array}{c}-\frac{(1-t)^2}{2} \\ 1-t \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \end{array}\right)\mathrm{d}t \\<br /> =\int_0^1 0 \mathrm{d}t+\int_0^1 1 \mathrm{d}t+\int_0^1 \left(\frac{(1-t)^2}{2}+t-1 \right)\mathrm{d}t=1+\left[\frac{1}{2}\left(\frac{t^3}{3}-t^2+t \right)+\frac{t^2}{2}-t \right]_0^1=1+\left[\frac{t^2}{6}-\frac{t}{2}\right]_0^1=1+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Mein LaTeX ist noch nicht perfekt...
08.12.2014, 20:58	Midna	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss richtig sein, danke (?)!

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