Normalteiler |
| 05.12.2014, 18:36 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Normalteiler Kleine Frage: Ist ein Normalteiler einer Untergruppe H < G auch ein Normalteiler der Gruppe G? |
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| 05.12.2014, 18:40 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Im Allgemeinen: Nein. |
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| 05.12.2014, 18:43 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok und wann genau gilt das? Ich versuche gerade zu verstehen ob es eine allgemeine Vorgehensweise gibt, um alle Normalteiler einer beliebigen Gruppe zu finden. |
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| 05.12.2014, 18:57 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Keine Ahnung. Mir ist kein Kriterium dafür bekannt.
Auch hier ist mir nichts bekannt und ich halte es für sehr unwahrscheinlich, dass es sowas gibt, da es viel zu viele verschiedenartige Gruppen gibt. |
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| 05.12.2014, 19:07 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja sicher, aber irgendwo muss man ja anfangen zu suchen. Ich versuche mich zu orientieren. z.B nach lagrange gilt alle Untergruppen mit Index=2 sind normal oder das Zentrum einer Gruppe ist normal oder wenn es nur eine p-Sylowuntergruppe gibt, so ist diese ebenfalls normal usw.. Ansonsten versuche ich Bruteforce alle Elemente halt der Reihe nach konjugieren und schauen ob sie in der gleichen Menge liegen.. was enorm viel Zeit kostet, wenn man z.B eine Diedergruppe D15 hat oder D40.. |
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| 05.12.2014, 19:32 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sich zu orientieren ist ja gut. Aber ich würd jetzt nicht beim allerallgemeinsten zu suchen anfangen.
Das ist doch schon einiges an Werkzeug.
Diedergruppen haben eine spezielle Struktur, die man ausnutzen kann (die Tricks funktionieren dann halt für andere Gruppen nicht). Man kann z.B. sehr gut mit den definierenden Relationen arbeiten. Es gilt allgemein: (Ich bezeichne mit die Diedergruppe mit 2n Elementen ferner mit s (Spiegelung) ein Element mit Ordnung 2, und d(Drehung) ein Element mit Ordnung n.) Die nicht trivialen Normalteiler sind - mit g|n (Sprich alle Untergruppen von <d>) und zusätzlich für n gerade: - |
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| 05.12.2014, 20:22 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay also ich kann sagen Zentrum(D_2n) = D+ (also die Menge, welche nur aus Rotationen besteht). Dann ist diese Menge per Definition auch abelsch und jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist normal. Jetzt zurück zu meiner ersten Frage: Wieso gilt hier jetzt, dass Normalteiler einer Untergruppe auch Normalteiler der ganzen Gruppe (D_2n) sind? Ausserdem wieso weiss man, dass es keine anderen Normalteiler gibt? |
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| 05.12.2014, 22:19 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Per Definition von was?
Indem man damit arbeitet:
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| 06.12.2014, 09:26 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, das ist i.A. falsch. Für (für kleinere n ist die Diedergruppe ja eh abelsch) besteht das Zentrum von nur aus , wenn n gerade ist. Wenn n ungerade ist, ist das Zentrum trivial. |
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