Würfel und unabhängige Ereignisse

05.12.2014, 19:38

Malicious

Würfel und unabhängige Ereignisse

Meine Frage:
Hallo,

bei mir wird wieder gewürfelt :-) ... Folgende Aufgabe

Ein guter Würfel wird dreimal geworfen. Es sein $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass der i-te und der j-te Wurf dieselbe Zahl ergeben. Zeigen Sie das die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ , 1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ i < j $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3, paarweise unabhängig, aber nicht vollständig unabhängig sind. Kann man das Ergebnis auf n Würfe verallgemeinern?

Meine Ideen:
Lösung: $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ mit 1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ i < j $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3, sind genau diese Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:

(1) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$
Sind paarweise unabhängig
(4) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ sind abhängig

Beweis:

Zu (1) - (3): Für die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ gilt allegmein: Es ist egal welche der Zahlen 1,?,6 im i-ten Wurf gewürfelt wurde. Entscheidend ist nur, dass im j-ten Wurf dieselbe Zahl gewürfelt wurde wie im i-ten Wurf. Da es ein guter Würfel ist, ergibt sich hierfür eine WK von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . Es gilt also P( $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Zu (1): Für das Eintreten des Ereignisses $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ist es unerheblich, welche Zahl im ersten Wurf gewürfelt wurde, also ist $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ . Es gilt also: P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Zu (2): Für das Eintreten des Ereignisses $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ ist es unerheblich, welche Zahl im zweiten Wurf gewürfelt wurde, also ist $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ . Es gilt also: P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Zu (3): Für das Eintreten des Ereignisses $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ist es unerheblich, welche Zahl im ersten Wurf gewürfelt wurde, also ist $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ . Es gilt also: P( $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ sind paarweise unabhängig.

Zu (4): Falls die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ unabhängig wären müsste gelten:

P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ )

= { P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \cap A_{1,3}\cap A_{2,3} \end{eqnarray*}$ )} / { P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \cap A_{1,3} \end{eqnarray*}$ )}

= {P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ) * P( $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ )* P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ )} / { P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ) * P( $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ )}

= P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Wenn die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ bereits eingetreten sind folgt automatisch, dass das Ereignis $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ auch eingetreten sein muss.

Folglich gilt:

P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ ) = 1 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ = P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ )

Also sind die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ nicht vollständig unabhängig.

Das Ergebnis lässt sich auf n Würfe übertragen. Dann haben wir Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ mit 1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ i < j $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n.

Die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ sind auch hier wieder paarweise unabhängig, da für das Eintreten eines Ereignisses $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ die anderen Würfe keine Rolle spielen, so lange jeweils nur zwei Ereignisse betrachtet werden.

Es können auch mehr als zwei Ereignisse unabhängig sein, (n = 8) z.B. $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{3,4} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{5,6} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{7,8} \end{eqnarray*}$ sind stochastisch unabhängig aber es können nicht alle Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ bei n Würfen unabhängig sein, denn z.B. sind wieder Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ sind abhängig und dies reicht ja schon aus, um zu zeigen, dass nicht alles Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ bei n Würfen unabhängig sein können.

Ich weiß das ist voll viel aber bitte ließt euch das genau durch, das war echt antstrengend das so genau aufzuschreiben -.-

Falls Ihr eine präzisere Lösung habt, nehm ich die auch :-)

05.12.2014, 21:21

Malicious

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm warum antwortet keiner unglücklich

.... Hätte ich lieber keine eigene Lösung angeben sollen? verwirrt

05.12.2014, 21:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malicious
Zu (1): Für das Eintreten des Ereignisses $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ist es unerheblich, welche Zahl im ersten Wurf gewürfelt wurde, also ist $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ .

Diese Logik erschließt sich mir nicht: Schließlich beeinflusst Wurf 2 beide Ereignisse, was nach Abhängigkeit riecht. unglücklich

Die wirkliche Begründung lautet ganz anders:

$\begin{align*} A_{1,2}\cap A_{2,3} \end{align*}$ bedeutet, dass erstes und zweites Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch zweites und drittes Wurfergebnis gleich. Mit anderen Worten: Alle drei Wurfergebnisse sind gleich, und die Wahrscheinlichkeit ist eben durch Abzählen

$\begin{align*} P(A_{1,2}\cap A_{2,3}) = \frac{6}{6^3} = \frac{1}{6^2} \end{align*}$ ,

was dann im Vergleich mit dem Produkt $\begin{align*} P(A_{1,2})\cdot P(A_{2,3}) \end{align*}$ übereinstimmt - deswegen sind die beiden Ereignisse unabhängig!!!

Auch beim Schnitt aller drei Ereignisse ändert sich diese Schnittwahrscheinlichkeit nicht, d.h.

$\begin{align*} P(A_{1,2}\cap A_{1,3}\cap A_{2,3}) = \frac{6}{6^3} = \frac{1}{6^2} \end{align*}$ ,

nur dass es diesmal ungleich $\begin{align*} P(A_{1,2})\cdot P(A_{1,3})\cdot P(A_{2,3}) \end{align*}$ ist, deswegen keine Unabhängigkeit aller drei Ereignisse.

05.12.2014, 22:38

Malicious

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,

ok verstehe, ja ich hatte dann doch einen Denkfehler, ich schreibe das mal so auf wie du gesagt hast...

Zu zeigen:

(1) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$
Sind paarweise unabhängig
(4) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ sind abhängig

zu (1) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$
bedeutet, dass erstes und zweites Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch zweites und drittes Wurfergebnis gleich, mit der WK

P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) = P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ) * P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{6^3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6^2} \end{eqnarray*}$

zu (2) $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$
bedeutet, dass zweites und drittes Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch erstes und drittes Wurfergebnis gleich, mit der WK

P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ ) = P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) * P( $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{6^3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6^2} \end{eqnarray*}$

zu (3) $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$
bedeutet, dass erstes und zweites Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch erstes und drittes Wurfergebnis gleich, mit der WK

P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ ) = P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ) * P( $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{6^3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6^2} \end{eqnarray*}$

zu (4) P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{6^3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6^2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ P( $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ) * P( $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ )* P( $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ ) also nicht unabhängig

Ist das jetzt richtig so?

Mein Schluss auf n Würfe, ist dann wahrscheinlich auch quatsch? bzw. nicht gut aufgeschrieben...?

05.12.2014, 23:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich noch nicht angeschaut.

Zitat:

Original von Malicious
Die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ sind auch hier wieder paarweise unabhängig, da für das Eintreten eines Ereignisses $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ die anderen Würfe keine Rolle spielen, so lange jeweils nur zwei Ereignisse betrachtet werden.

Mit den entsprechenden Korrekturen vom Fall n=3 ist das Ok. Und sind bei $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{k,l} \end{eqnarray*}$ alle vier Indizes verschieden, so stimmt sogar deine ursprüngliche Begründung. D.h., paarweise Unabhängigkeit ist erfüllt.

Zitat:

Original von Malicious
Es können auch mehr als zwei Ereignisse unabhängig sein, (n = 8) z.B. $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{3,4} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{5,6} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{7,8} \end{eqnarray*}$ sind stochastisch unabhängig aber es können nicht alle Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ bei n Würfen unabhängig sein, denn z.B. sind wieder Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} A_{1,3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_{2,3} \end{eqnarray*}$ sind abhängig und dies reicht ja schon aus, um zu zeigen, dass nicht alles Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ bei n Würfen unabhängig sein können.

Klingt durch und durch vernünftig. Freude

05.12.2014, 23:14

Malicious

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeee

und gute Nacht

Neue Frage »

Antworten »

Würfel und unabhängige Ereignisse

Verwandte Themen