Würfel und unabhängige Ereignisse |
05.12.2014, 19:38 | Malicious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Würfel und unabhängige Ereignisse Hallo, bei mir wird wieder gewürfelt :-) ... Folgende Aufgabe Ein guter Würfel wird dreimal geworfen. Es sein das Ereignis, dass der i-te und der j-te Wurf dieselbe Zahl ergeben. Zeigen Sie das die Ereignisse , 1 i < j 3, paarweise unabhängig, aber nicht vollständig unabhängig sind. Kann man das Ergebnis auf n Würfe verallgemeinern? Meine Ideen: Lösung: mit 1 i < j 3, sind genau diese Ereignisse ; , Zu zeigen: (1) und (2) und (3) und Sind paarweise unabhängig (4) ; , sind abhängig Beweis: Zu (1) - (3): Für die Ereignisse gilt allegmein: Es ist egal welche der Zahlen 1,?,6 im i-ten Wurf gewürfelt wurde. Entscheidend ist nur, dass im j-ten Wurf dieselbe Zahl gewürfelt wurde wie im i-ten Wurf. Da es ein guter Würfel ist, ergibt sich hierfür eine WK von . Es gilt also P( ) =. Zu (1): Für das Eintreten des Ereignisses ist es unerheblich, welche Zahl im ersten Wurf gewürfelt wurde, also ist unabhängig von . Es gilt also: P( ) = *. Zu (2): Für das Eintreten des Ereignisses ist es unerheblich, welche Zahl im zweiten Wurf gewürfelt wurde, also ist unabhängig von . Es gilt also: P( ) = *. Zu (3): Für das Eintreten des Ereignisses ist es unerheblich, welche Zahl im ersten Wurf gewürfelt wurde, also ist unabhängig von . Es gilt also: P( ) = *. Daraus folgt die Ereignisse sind paarweise unabhängig. Zu (4): Falls die Ereignisse ; , unabhängig wären müsste gelten: P( | ) = { P()} / { P()} = {P( ) * P( )* P()} / { P( ) * P( )} = P() = Wenn die Ereignisse ) und bereits eingetreten sind folgt automatisch, dass das Ereignis auch eingetreten sein muss. Folglich gilt: P( | ) = 1 = P() Also sind die Ereignisse nicht vollständig unabhängig. Das Ergebnis lässt sich auf n Würfe übertragen. Dann haben wir Ereignisse mit 1 i < j n. Die Ereignisse sind auch hier wieder paarweise unabhängig, da für das Eintreten eines Ereignisses die anderen Würfe keine Rolle spielen, so lange jeweils nur zwei Ereignisse betrachtet werden. Es können auch mehr als zwei Ereignisse unabhängig sein, (n = 8) z.B. ; ; ; sind stochastisch unabhängig aber es können nicht alle Ereignisse bei n Würfen unabhängig sein, denn z.B. sind wieder Ereignisse ; , sind abhängig und dies reicht ja schon aus, um zu zeigen, dass nicht alles Ereignisse bei n Würfen unabhängig sein können. Ich weiß das ist voll viel aber bitte ließt euch das genau durch, das war echt antstrengend das so genau aufzuschreiben -.- Falls Ihr eine präzisere Lösung habt, nehm ich die auch :-) |
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05.12.2014, 21:21 | Malicious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm warum antwortet keiner .... Hätte ich lieber keine eigene Lösung angeben sollen? |
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05.12.2014, 21:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Logik erschließt sich mir nicht: Schließlich beeinflusst Wurf 2 beide Ereignisse, was nach Abhängigkeit riecht. Die wirkliche Begründung lautet ganz anders: bedeutet, dass erstes und zweites Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch zweites und drittes Wurfergebnis gleich. Mit anderen Worten: Alle drei Wurfergebnisse sind gleich, und die Wahrscheinlichkeit ist eben durch Abzählen , was dann im Vergleich mit dem Produkt übereinstimmt - deswegen sind die beiden Ereignisse unabhängig!!! Auch beim Schnitt aller drei Ereignisse ändert sich diese Schnittwahrscheinlichkeit nicht, d.h. , nur dass es diesmal ungleich ist, deswegen keine Unabhängigkeit aller drei Ereignisse. |
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05.12.2014, 22:38 | Malicious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Hal, ok verstehe, ja ich hatte dann doch einen Denkfehler, ich schreibe das mal so auf wie du gesagt hast... Zu zeigen: (1) (2) (3) Sind paarweise unabhängig (4) sind abhängig zu (1) bedeutet, dass erstes und zweites Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch zweites und drittes Wurfergebnis gleich, mit der WK P( ) = P( ) * P() = = zu (2) bedeutet, dass zweites und drittes Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch erstes und drittes Wurfergebnis gleich, mit der WK P( ) = P( ) * P() = = zu (3) bedeutet, dass erstes und zweites Wurfergebnis gleich sind und zugleich auch erstes und drittes Wurfergebnis gleich, mit der WK P( ) = P( ) * P() = = zu (4) P( ) = = P( ) * P()* P() also nicht unabhängig Ist das jetzt richtig so? Mein Schluss auf n Würfe, ist dann wahrscheinlich auch quatsch? bzw. nicht gut aufgeschrieben...? |
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05.12.2014, 23:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hatte ich noch nicht angeschaut.
Mit den entsprechenden Korrekturen vom Fall n=3 ist das Ok. Und sind bei und alle vier Indizes verschieden, so stimmt sogar deine ursprüngliche Begründung. D.h., paarweise Unabhängigkeit ist erfüllt.
Klingt durch und durch vernünftig. |
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05.12.2014, 23:14 | Malicious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dankeee und gute Nacht |
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