Beweis Dimensionsformel

05.12.2014, 20:46

Algorithmus

Beweis Dimensionsformel

Hallo Leute, ich verstehe den Beweis zur Dimensionsformel irgendwie nicht.

Dimmensionsformel für Summen. Für endlichdimensionale Untervektorräume $\begin{eqnarray*} W_1, W_2\subset V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} dim(W_1+W_2)=dim W_1 + dim W_2 - dim (W_1\cap W_2) \end{eqnarray*}$ .

Beweis. Wir beginnen mit einer Basis $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_r) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W_1\cap W_2 \end{eqnarray*}$ und ergänzen sie mithilfe des Basisergänzungssatz zu Basen $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_m,w_1,...,w_k) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_m,w_1',...,w_l') \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W_2 \end{eqnarray*}$ .

Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir gezeigt haben, dass:

$\begin{eqnarray*} B:=(v_1,...,v_m,w_1,...,w_k,w_1',...,w_l') \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} W_1+W_2 \end{eqnarray*}$ von B erzeugt wird ist klar. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei

$\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1+...+\lambda_mv_m+\mu_1w_1+...+\mu_kw_k+\mu'_1w'_1+...+\mu'_lw'_l=0 (\star) \end{eqnarray*}$

Setzen wir

$\begin{eqnarray*} v:=\lambda_1v_1+...+\lambda_mv_m+\mu_1w_1+...\mu_kw_k \end{eqnarray*}$

so ist $\begin{eqnarray*} v\in W_1 \end{eqnarray*}$

Das gilt wegen der Vorraussetzung, da dies Basis von $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ ist oder?

und $\begin{eqnarray*} -v=\mu'_1w'_1+...+\mu'_1w'_1\in W_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v\in W_1\cap W_2 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} v=\lambda'_1v_1+...+\lambda'_mv_m \end{eqnarray*}$

Wo kommt jetzt -v her? und wieso folgt daraus das $\begin{eqnarray*} v\in W_1\cap W_2 \end{eqnarray*}$ liegt?

mit $\begin{eqnarray*} \lambda'_1,...,\lambda'_m\in K \end{eqnarray*}$ , und wegen der Eindeutigkeit der Linearkombination folgt insbesondere $\begin{eqnarray*} \mu_1=...=\mu_k=0 \end{eqnarray*}$ .

Setzt man das in $\begin{eqnarray*} (\star) \end{eqnarray*}$ ein, so folgt auch $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...=\lambda_m=\mu'_1=...=\mu_l'=0 \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 21:02

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RE: Beweis Dimensionsformel

Zitat:

as gilt wegen der Vorraussetzung, da dies Basis von $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ ist oder?

Es heißt Voraussetzung, aber sonst richtig.

Zitat:

Wo kommt jetzt -v her? und wieso folgt daraus das $\begin{eqnarray*} v\in W_1\cap W_2 \end{eqnarray*}$ liegt?

Benutze deine Gleichung (*) und setze das eben definierte v ein.
Das zeigt $\begin{eqnarray*} v\in W_2 \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 21:13

Algorithmus

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$\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1+...+\lambda_mv_m+\mu_1w_1+...+\mu_kw_k+\mu'_1w'_1+...+\mu'_lw'_l=0 (\star) \end{eqnarray*}$

Ich setze $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein und erhalte:

$\begin{eqnarray*} v+\mu'_1w'_1+...+\mu'_lw'_l=0 \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} -v=\mu'_1w'_1+...+\mu'_lw'_l \end{eqnarray*}$

Das macht Sinn.

Da nun gilt $\begin{eqnarray*} v\in W_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -v\in W_2 \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} W_2 \end{eqnarray*}$ UVR ist auch $\begin{eqnarray*} v\in W_2 \end{eqnarray*}$ enthalten.

Also ist auch $\begin{eqnarray*} v\in W_1\cap W_2 \end{eqnarray*}$ enthalten.

Das $\begin{eqnarray*} v=\lambda'v_1,...,\lambda'v_m \end{eqnarray*}$ ist gilt wieder wegen der Voraussetzung das $\begin{eqnarray*} (\lambda_1v_1,...,\lambda_mv_m) \end{eqnarray*}$ Basis vom Schnitt ist oder?

Wenn ja hab ichs nun glaube ich verstanden.

Vielen dank schonmal,
mfg. Algorithmus Wink

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