Mengen in gaußscher Zahlenebene

06.12.2014, 09:07

StudentinnenNeuling

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Mengen in gaußscher Zahlenebene

Meine Frage:
Hey ein schönes Wochenende erstmal allen!

Es geht um Skizzen von Mengen. Erstmal die paar:

Es geht um folgende Mengen

$\begin{eqnarray*} M_1 := \lbrace z \in \mathbb C | 1 < |z- (1+j)| \leq 2 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_2 := \lbrace z \in \mathbb C | |Re(z)|+|Im(z)| < 1 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_3 := \lbrace z \in \mathbb C \setminus \lbrace 0 \rbrace| \mid \frac{1}{z} \mid < 1 \wedge -\frac{\pi}{2} \leq \arg(z) \leq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_4 := \lbrace z \in \mathbb C \setminus \lbrace 0 \rbrace| Re \left( \frac{1}{z} \right) \leq 3 \rbrace \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß einfach nicht grundsätzlich wie ich das hinbekommen soll. Ich schaue mir die Bedingungen an.

Nehmen wir mal zuerst $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ .

Der Betrag des Realteils addiert mit dem Betrag des Imaginärteils soll echt kleiner 1 sein. Erster Einfall ist, dass negative Werte nach oben geklappt werden (imaginäre Achse) und von links nach rechts (reelle Achse).
Umformungen darf ich ja nicht tätigen, da ich ja die Menge verändern könnte?

Jetzt würde ich sagen, dass aufgrund der Beträge die Menge im ersten Quadranten liegen muss, da es keine negativen Werte annimmt, ich würde also im ersten Quadranten alle Zahlen die zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \leq z < 1 \end{eqnarray*}$
skizzieren.

Solche Aufgaben bereiten mir immer so Kopfschmerzen, sie kommen immer wieder und ich stehe immer wieder vor den gleichen Problemen. Man braucht so ein großes Verständnis, hat da jemand irgendwie Tricks für mich?

Für Hilfe bin ich sehr dankbar,

Anja

06.12.2014, 09:46

HAL 9000

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Ein bisschen Grundsatzwissen sollte man schon im Köcher haben.

Etwa bei $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \left| z-z_M \right| = r \end{align*}$ beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ .

Dem zugehörig:

$\begin{align*} \left| z-z_M \right| < r \end{align*}$ beschreibt das Innere eines Kreises mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ .

$\begin{align*} \left| z-z_M \right| > r \end{align*}$ beschreibt das Äußere eines Kreises mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ .

Bei $\begin{align*} \leq r \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \geq r \end{align*}$ hat man entsprechend das Innere bzw. Äußere inklusive Kreislinie zu nehmen.

$\begin{align*} r_1 < \left| z-z_M \right| \leq r_2 \end{align*}$ ist dann logisch betrachtet

( $\begin{align*} \left| z-z_M \right| \leq r_2 \end{align*}$ ) UND NICHT ( $\begin{align*} \left| z-z_M \right| \leq r_1 \end{align*}$ ),

d.h. ein Kreisring mit inneren Radius $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ (diese innere Kreislinie gehört nicht zur Menge) und äußerem Radius $\begin{align*} r_2 \end{align*}$ (diese äußere Kreislinie gehört zur Menge) mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ .

---------------------

Zu $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ : Mit $\begin{align*} z=x+iy \end{align*}$ ist die Ungleichung x+y<1 zu betrachten.

$\begin{align*} x+y=1 \end{align*}$ ist eine Gerade in der Ebene, die solltest du zeichnen können. $\begin{align*} x+y<1 \end{align*}$ ist nun die Halbebene unter dieser Geraden (ohne die Gerade selbst).

---------------------

Zu $\begin{align*} M_3 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \left| \frac{1}{z} \right| < 1 \end{align*}$ bedeutet nach Kehrwert $\begin{align*} \left| z \right| > 1 \end{align*}$ , also das Äußere des Einheitskreises (s.o.).

Aber nicht das gesamt Äußere, sondern nur in dem angegebenen Winkelbereich $\begin{align*} -\frac{\pi}{2} \leq \arg(z) \leq 0 \end{align*}$ , der dem vierten Quadranten (inklusive Achsenanteilen) entspricht.

---------------------

Zu $\begin{align*} M_4 \end{align*}$ , die schwierigste der vier Mengen: Man kann da z.B. $\begin{align*} z=x+iy \end{align*}$ in die Ungleichung einsetzen und durch Umformen wieder in eine Kreis(un)gleichung überführen.

EDIT: Entschuldigung, ich habe bei $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ die Betragszeichen übersehen: Es ist also $\begin{align*} |x|+|y|\leq 1 \end{align*}$ zu betrachten. Im ersten Quadranten entspricht das aber tatsächlich der o.g. Lösung von $\begin{align*} x+y\leq 1 \end{align*}$ , anschließend ist das Ergebnis an x- und y-Achse zu spiegeln und so in alle vier Quadranten fortzusetzen - es ergibt sich letztlich ein um 45° gekipptes Quadrat mit den vier Eckpunkten 1,i,-1,-i.

09.12.2014, 10:20

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein bisschen Grundsatzwissen sollte man schon im Köcher haben.

Natürlich, bei mir ist's nur manchmal in größeren und manchmal in kleineren Häppchen vorhanden Hammer

Hammer

Zitat:

Original von HAL 9000
Etwa bei $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \left| z-z_M \right| = r \end{align*}$ beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ .

Dem zugehörig:

$\begin{align*} \left| z-z_M \right| < r \end{align*}$ beschreibt das Innere eines Kreises mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ .

$\begin{align*} \left| z-z_M \right| > r \end{align*}$ beschreibt das Äußere eines Kreises mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ .

Bei $\begin{align*} \leq r \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \geq r \end{align*}$ hat man entsprechend das Innere bzw. Äußere inklusive Kreislinie zu nehmen.

Es fällt mir einfach unglaublich schwer sich klarzumachen wieso das so ist, ich meine auswendig lernen und es sich als Vokabel abspeichern können zwar auch nicht viele, aber das sollte auch nicht der Sinn der Sache sein.
Wieso ist das denn so? $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ beschreibt doch auch einen Kreis, aber ich weiß einfach nicht warum, wenn ich es höre ja klar, aber wenn man mich fragen würde wieso ergibt das einen Kreis dann käme ich's ins Stottern.

Ich hoffe ich habe die Radien richtig eingezeichnet. Mir war noch unklar wo genau sich dieser Kreisring befinden, ich nahm jetzt einfach wie auf dem Bild zu sehen ist an, dass er zwischen 1 und 2 (eingeschlossen) liegt, wobei dies eigentlich die Kreiskriterien beschreibt. verwirrt

verwirrt

Vor allem was $\begin{eqnarray*} z-(1+j) \end{eqnarray*}$ veranschaulichen soll ist mir auch noch nicht ganz klar. 1+j ist ja der Punkt 1/1 in der gaußschen Zahlenebene und z abgezogen davon mhm verwirrt

verwirrt

Bei M2 geht es um den Betrag vom Realteil addiert mit dem Betrag vom Imaginärteil dieser soll kleiner 1 sein. Ich verstehe jetzt erstmal nicht wieso kleiner gleich 1 betrachtet wird? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von HAL 9000
EDIT: Entschuldigung, ich habe bei $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ die Betragszeichen übersehen: Es ist also $\begin{align*} |x|+|y|\leq 1 \end{align*}$ zu betrachten. Im ersten Quadranten entspricht das aber tatsächlich der o.g. Lösung von $\begin{align*} x+y\leq 1 \end{align*}$ , anschließend ist das Ergebnis an x- und y-Achse zu spiegeln und so in alle vier Quadranten fortzusetzen - es ergibt sich letztlich ein um 45° gekipptes Quadrat mit den vier Eckpunkten 1,i,-1,-i.

Ich verstehe nicht wieso das so in alle vier Quadranten gekippt wird, meine eigentlich kippt doch der Betrag alle negativen Zahlen in die positiven?

Ich habe das komplex konjugierte vergessen, es müsste so lauten:

$\begin{eqnarray*} M_3 := \lbrace \bar{z} \in \mathbb C \setminus \lbrace 0 \rbrace| \mid \frac{1}{z} \mid < 1 \wedge -\frac{\pi}{2} \leq \arg(z) \leq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Macht das was zur Sache mhm? Ich kann mir das Äußere des Einheitskreises vorstellen, aber irgendwie nicht an dem Sachverhalt von M3

M4 wieder eine Kreisgleichung?

Danke HAL 9000, sry für meine Inkompetenz traurig

traurig

09.12.2014, 22:01

StudentinnenNeuling

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Ich weiß meine Antwort kam heute spät, aber ich wollte nur nochmal zeigen, dass ich daran sitze und kämpfe verwirrt

verwirrt

Anja

09.12.2014, 22:35

HAL 9000

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Die Skizze zu $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ ist Ok - es ist allerdings deutlich zu kennzeichnen, dass das Innere dieses Quadrates gemeint ist (ohne Rand).

Der Kreisring zu $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ ist im Koordinatensystem völlig deplatziert: Wo liegt denn der Mittelpunkt $\begin{align*} (1+j) \end{align*}$ ??? unglücklich

unglücklich

Richtig eingezeichnet liegt z.B. der Koordinatenursprung 0 "im Ring", d.h. zwischen inneren und äußeren Kreis.

EDIT: Ich hab's mir nochmal genau angeschaut:

- Gesucht war ein Kreisring mit den Radien 1 und 2 um Mittelpunkt $\begin{align*} 1+j \end{align*}$

- Gezeichnet hast du einen Kreisring mit den Radien 0.25 und 0.5 um Mittelpunkt $\begin{align*} 1.5+0.5j \end{align*}$ .

09.12.2014, 22:54

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von HAL 9000
Der Kreisring zu $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ ist im Koordinatensystem völlig deplatziert: Wo liegt denn der Mittelpunkt $\begin{align*} (1+j) \end{align*}$ ??? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
1+j ist ja der Punkt 1/1 in der gaußschen Zahlenebene

Zitat:

Original von HAL 9000
- Gesucht war ein Kreisring mit den Radien 1 und 2 um Mittelpunkt $\begin{align*} 1+j \end{align*}$

Also einfach der Kreis im mit Mittelpunkt 1+j sprich (1|1) so wie in der Skizze?

Nun ja zu M3 und M4 habe ich weiterhin die Fragen aus Beitrag No2.

Danke HAL 9000

Anja

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09.12.2014, 23:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
$\begin{eqnarray*} M_3 := \lbrace \bar{z} \in \mathbb C \setminus \lbrace 0 \rbrace| \mid \frac{1}{z} \mid < 1 \wedge -\frac{\pi}{2} \leq \arg(z) \leq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Macht das was zur Sache mhm?

Es ergibt gegenüber den Feststellungen in meinem ersten Beitrag eine Spiegelung an der reellen Achse. Der Rest steht oben, und den wiederhole ich NICHT nochmal.

Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
M4 wieder eine Kreisgleichung?

Auch das wiederhole ich nicht. Du hast nichts aus dem Hinweis

Zitat:

Original von HAL 9000
Man kann da z.B. $\begin{align*} z=x+iy \end{align*}$ in die Ungleichung einsetzen und durch Umformen wieder in eine Kreis(un)gleichung überführen.

gemacht, zumindest ist hier davon nichts zu sehen.

09.12.2014, 23:54

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ergibt gegenüber den Feststellungen in meinem ersten Beitrag eine Spiegelung an der reellen Achse. Der Rest steht oben, und den wiederhole ich NICHT nochmal.

Okay ja stimmt das komplex konjugierte zieht eine Spiegelung an der reellen nach sich.

Mir ist dennoch unklar wie man von $\begin{align*} \left| \frac{1}{z} \right| < 1 \end{align*}$ durch Bildung des Kehrwertes auf $\begin{align*} \left| z \right| > 1 \end{align*}$ kommt. Und wieso das das Äußere des Einheitskreises ist?

Man kann den Betrag auf Zähler und Nenner einzeln beziehen, und eine Invertierung dreht anscheinend die Zeichen um verwirrt

verwirrt

Die Form des Einheitskreise s.o.? erkenne ich trotzdem nicht unglücklich

unglücklich

Zu $\begin{align*} M_4 \end{align*}$ da habe ich mal die Definition eingesetzt der komplexen Zahl und mit dem komplex konjugierten erweitert, aber danach?

Geht es aber nicht einfacher? Der Verlauf der Funktion $\begin{align*} \frac1z \end{align*}$ unterscheidet sich doch nicht im Reellen und im Komplexen? Dann ist doch die Menge alles "unter" der Funktion kleiner gleich 3 was die Funktion einschließt?

Ich komme da auf keine Kreise verwirrt

verwirrt

Anja

10.12.2014, 08:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
Mir ist dennoch unklar wie man von $\begin{align*} \left| \frac{1}{z} \right| < 1 \end{align*}$ durch Bildung des Kehrwertes auf $\begin{align*} \left| z \right| > 1 \end{align*}$ kommt. Und wieso das das Äußere des Einheitskreises ist?

Es hat den Anschein, als haderst du nicht nur mit der geometrischen Bedeutung des Betrages komplexer Zahlen, sondern auch mit dessen Rechenregeln:

Es ist $\begin{align*} \left| z_1\cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right| \end{align*}$ sowie im Fall $\begin{align*} z_2\neq 0 \end{align*}$ auch $\begin{align*} \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{\left| z_1 \right|}{\left| z_2 \right|} \end{align*}$ .

Im vorliegenden Fall bedeutet dies $\begin{align*} \left| \frac{1}{z} \right| = \frac{|1|}{|z|} = \frac{1}{|z|} \end{align*}$ . Die entstehende reelle Ungleichung $\begin{align*} \frac{1}{|z|} < 1 \end{align*}$ wird umgeformt zu $\begin{align*} |z| > 1 \end{align*}$ , und dessen geometrische Bedeutung ist ja nun hinlänglich oft hier diskutiert worden:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \left| z-z_M \right| > r \end{align*}$ beschreibt das Äußere eines Kreises mit Mittelpunkt $\begin{align*} z_M \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ .

Zu $\begin{align*} M_4 \end{align*}$ : Ewiges sinnloses Rumdiskutieren a la "geht es nicht einfacher?" ersetzt es nicht, in ein paar Minuten die wirkliche Rechnung durchzuführen:

Es ist $\begin{align*} \frac{1}{z} = \frac{1}{x+yi} = \frac{x-yi}{x^2+y^2} =~{\color{red}\frac{x}{x^2+y^2}}~+ \frac{yi}{x^2+y^2}i \end{align*}$ . den Realteil mal farblich hervorgehoben. Somit ist $\begin{align*} \operatorname{Re}\left( \frac{1}{z} \right) \leq 3 \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} \frac{x}{x^2+y^2} \leq 3 \end{align*}$ , und das lässt sich (wie bereits mehrfach erwähnt) zu einer Kreis(un)gleichung des Typs $\begin{align*} (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 \geq r^2 \end{align*}$ mit geeignet gewähltem Mittelpunkt $\begin{align*} (x_M,y_M) \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ umformen.

10.12.2014, 08:50

StudentinnenNeuling

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Okay ja stimmt, ein wenig Schlaf und der Kopf ist klarer, d.h. es handelt sich um einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt Null und Radius 1 und die Menge ist die außerhalb des Kreises, ohne Kreislinie, korrekt?

$\begin{eqnarray*} M_4 \end{eqnarray*}$ bereitet mir jetzt noch Sorgen.

Danke HAL 9000!

Anja

10.12.2014, 08:54

HAL 9000

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Das habe ich gerade eben noch oben reineditiert.

10.12.2014, 09:07

StudentinnenNeuling

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Guten Morgen smile

smile

Diese Kreisgleichung unterscheidet sich doch ein wenig von der ersten verwirrt

verwirrt

Nichtsdestotrotz ist doch der Mittelpunkt Null?
Der Radius muss dann ein Drittel sein?

$\begin{align*} \frac13 \leq \frac{x^2+y^2}{x} \end{align*}$

Was das geteilt durch x mit meiner Menge macht ist mir nicht ganz klar verwirrt

verwirrt

Danke HAL 9000!

Anja

10.12.2014, 09:14

HAL 9000

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"Umformen" heißt nicht, einen beliebigen Umformungsschritt durchzuführen, und sich dann zufrieden zurückzulehnen. unglücklich

unglücklich

Zielführend ist zunächst $\begin{align*} \frac{x}{3} \leq x^2+y^2 \end{align*}$ , dann alles nach rechts bringen und quadratisch ergänzen:

$\begin{align*} \frac{1}{6^2}\leq x^2- \frac{x}{3} + \frac{1}{6^2} + y^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{6^2}\leq \left( x- \frac{1}{6} \right)^2 + y^2 \end{align*}$ .

10.12.2014, 09:30

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von HAL 9000
"Umformen" heißt nicht, einen beliebigen Umformungsschritt durchzuführen, und sich dann zufrieden zurückzulehnen. unglücklich

unglücklich

Ich weiß doch, aber ich versuche es immer, nur klappts quasi mathematisch formuliert gegen Null.

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \frac{1}{6^2}\leq \left( x- \frac{1}{6} \right)^2 + y^2 \end{align*}$ .

Alles nach rechts bringen, okay das quadratische Ergänzen ist mir jedoch rätselhaft, wie es zu Stande kommt unglücklich

unglücklich

Ich erkenne die binomische Formel. Aber ich komme nicht darauf wie diese Form entsteht:

$\begin{align*} \frac{1}{6^2}\leq x^2- \frac{x}{3} + \frac{1}{6^2} + y^2 \end{align*}$

Weiß ich einfach nicht. traurig

traurig

Anja

10.12.2014, 09:57

HAL 9000

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Quadratische Ergänzung ist Schulstoff, und es ist völlig natürlich, dass die hier zur Anwendung kommt, wenn man eine Kreisgleichung als Ziel im Auge hat.

10.12.2014, 10:01

StudentinnenNeuling

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Alles klar...

Danke

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