Rekursive Folge - Folgenglieder positiv, streng monoton wachsend, beschränkt, Grenzwert

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MC Klaus Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge - Folgenglieder positiv, streng monoton wachsend, beschränkt, Grenzwert
Meine Frage:
Guten Tag,
eine rekursive Folge, die folgendermaßen definiert ist, macht mir zu schaffen:
mit

Es soll gezeigt werden, dass alle Folgenglieder für positiv sind, streng monoton steigen, beschränkt sind und konvergent. Dann soll auch noch der Grenzwert berechnet werden.


Meine Ideen:
Ich möchte durch vollständige Induktion zeigen, dass alle Folgenglieder positiv sind. Dazu ging ich so vor:
IA: Die Voraussetzung ist für erfüllt, da gilt. Zu zeigen ist noch, dass dies auch für gilt.

Ich verstehe nicht, welche IV ich hier verwenden muss. Bei der Induktion zum Beweis von Umschreibungen von Summenformeln kriege ich das hin, aber bei einer rekursiven Folge... ist das dann , weil galt?

Und muss ich die Monotonie auch mit Induktion beweisen oder gibt es da einen anderen Weg?

Danke im Voraus für die (hoffentlich) schnellen Antworten smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MC Klaus
Ich verstehe nicht, welche IV ich hier verwenden muss. Bei der Induktion zum Beweis von Umschreibungen von Summenformeln kriege ich das hin, aber bei einer rekursiven Folge... ist das dann , weil galt?

In manchen Induktionsbeweisen ist der Induktionsschritt halt so schlicht, dass kaum etwas zu tun ist - so auch hier:

Wenn positiv ist, so sind alle Faktoren in Zähler und Nenner von positiv, und damit auch der Gesamtterm, welcher ja entspricht - fertig ist der Induktionsschritt. Augenzwinkern

Trotz dieser Schlichtheit war aber eben Induktionsvoraussetzung nötig, um so argumentieren zu können. Augenzwinkern
MC Klaus Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt einfach mal folgenden naiven Versuch gestartet:

IV:
IS: erfüllt die Voraussetzung. Für gilt damit:


Das kommt mir alles zu einfach vor Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat sich offenbar mit meinem letzten Beitrag zeitlich überschnitten...


Zum Monotoniebeweis: Da greift - wie so oft bei derartig rekursiv definierten Folgen - dieses Prinzip:

Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
MC Klaus Auf diesen Beitrag antworten »

Der Monotoniebeweis verwirrt mich...
Ich weiß ja auf jeden Fall schon, das ist, aber kann ich diesen Umstand schon für den Monotoniebeweis nutzen? Oder muss ich
induktiv beweisen? Ich verstehe nicht so recht, ob man hier nur irgendwie umformen muss (nach was?) oder wie das vorgehen ist. Der andere Thread hilft mir da irgendwie nicht weiter, vielleicht kann das ja jemand auf meine Folge beziehen. unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MC Klaus
Der andere Thread hilft mir da irgendwie nicht weiter,

Ich werde mal "Bullshit Bingo" für unsägliche Floskeln hier im Matheboard einführen - die hier kommt mit in die Liste. smile

Nichts für ungut, aber die Vorgehensweise kannst du doch konkret auf die Funktion hier anwenden.
 
 
MC Klaus Auf diesen Beitrag antworten »

Bullshit Bingo hin oder her, ich verstehe leider deine Umformung bzgl. der Kehrwertfunktion nicht. Ich versuche mal auszudrücken, was mir Verständnisprobleme bereitet:
Ich weiß, was eine Kehrwertfunktion ist, aber ich weiß folgende Dinge nicht:
1. Wieso ist es einfacher, zu zeigen, dass die Kehrwertfunktion einer rekursiven Folge, die streng monoton wächst, streng monoton fällt, als ersteres zu zeigen?
2. . Wie viele Umformungen stecken da drin? Um nochmal sicher zu gehen: Meine rekursive Folgenvorschrift gehört in den Nenner, die 1 in den Zähler. Dann muss ich umformen, bis ich sehe, dass der Nenner des einen Bruchs größer ist als der des anderen Bruchs?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von was für einer "Kehrwertfunktion" sprichst du da? unglücklich

----------------------------------------

Ok, jetzt mal ausführlich, wie ich mir das hier vorstelle: Es sei

mit

festgelegt. Dann haben wir zur Folge den Zusammenhang .

Nun ist streng monoton wachsend, was man z.B. an der Darstellung sieht, oder (wenn's sein muss) an deren Ableitung .


Falls die Folge einen Grenzwert besitzt, so muss wegen der Stetigkeit von für ihn gelten, was nach Auflösung bedeutet. kommt hier nicht in Frage (siehe später), also ist der mutmaßliche (!) Grenzwert.


Wir beweisen nun in einem Aufwasch die Behauptung

Zitat:
für

durch vollständige Induktion über :
    Induktionsanfang : Wir berechnen , und da gilt, ist man hier fertig.

    Induktionsschritt : Die oben nachgewiesene strenge Monotonie liefert angewandt auf die Induktionsvoraussetzung die Ungleichung

    ,

    was eingesetzt



    ergibt, also links sogar noch "etwas mehr" als für die Induktionsbehauptung gefordert - fertig ist der Induktionsschritt.



P.S.: Man verzeihe mir die Komplettlösung, aber anders war die Idee ja offenbar nicht zu vermitteln. Und diese Methode funktioniert fast 1:1 übernommen bei sehr vielen rekursiv definierten Folgen - anzupassen sind da lediglich sowie die Schranken.
MC Klaus Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal braucht man eben so etwas... smile
Also mein Problem war ja vorher, wie man auf die Darstellung von kommt, die ja für die weiteren Ausführungen von Nöten ist. Danke dafür und damit ist es nun leichter!

edit: ich meinte die Kehrwertfunktion
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MC Klaus
Also mein Problem war ja vorher, wie man auf die Darstellung von kommt, die ja für die weiteren Ausführungen von Nöten ist.

Da fehlt mir schlicht die Vorstellungskraft, dass man dieses nicht sofort aus der rekursiven Definition der Folge ablesen kann. Daher hatte ich überhaupt nicht auf dem Radar, dass ausgerechnet das ein Problem sein könnte. Augenzwinkern
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