Regressionsebene aus Punktwolke II

06.12.2014, 11:18	jonas1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Regressionsebene aus Punktwolke II Meine Frage: Hi, wie der Titel schon andeutet geht es um eine Ausgleichsebene aus einer Punktwolke. Ich würde gerne eine Ebene berechnen, die meine Punktwolke möglichst gut abbildet, dh die Summe der Abstände von Punkten zur Ebene sollte minimal sein. Es gibt möglichkeiten (im GIS) eine Trendfläche zu berechnen. Dort wird jedoch die Regression nur in einer Richtung durchgeführt (es wird nur der Abstand zb in z-Richtung betrachtet). Ich bräuchte den tatsächlichen Abstand als Grundlage. Hoffe das Problem ist halbwegs klargeworden !? Grüße Jonas Meine Ideen: es gibt ja die Möglichkeit den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu rechnen, sollte ja irgendwie möglich sein das als Grundlage für die Regression zu nehmen (sorry mathe is halt nich so meins )
06.12.2014, 11:37	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Regressionsebene aus Punktwolke II Seien $\begin{eqnarray} x_i,y_i,z_i \: i=1..n \end{eqnarray}$ die Punktwolke und $\begin{eqnarray} \overline x, \overline y, \overline z \end{eqnarray}$ die Mittelwerte, dann ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \overline x\\ \overline y\\ \overline z\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Punkt der Ebene. Berechne außerdem die Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray} K=\begin{pmatrix}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2 & \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)(y_i-\overline y) & \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)(z_i-\overline z) \\ \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)(y_i-\overline y) & \sum_{i=1}^n (y_i-\overline y)^2 & \sum_{i=1}^n (y_i-\overline y)(z_i-\overline z) \\ \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)(z_i-\overline z)& \sum_{i=1}^n (z_i-\overline z)(y_i-\overline y)& \sum_{i=1}^n (z_i-\overline z)^2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und davon die Eigenwerte und Eigenvektoren. Der Eigenvektor zum betragskleinsten Eigenwert ist der Normalenvektor der gesuchten Ebene. Die beiden anderen Eigenvektoren spannen die Ebene auf. Falls du mit matlab arbeitest s.a. die Funktion "svd".

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