Abschätzung für Funktion in zwei Variablen

06.12.2014, 13:53	Zuris	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung für Funktion in zwei Variablen Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} \frac{\|a+ab\|}{1+a^2+b^2}\leq\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Man könnte das vermutlich lösen, indem man Gradient und Hesse-Matrix der Funktion berechnet und dann nachweist, dass es ein passendes globales Maximum bzw. Minimum gibt. Aber ich suche nach einem weniger rechenlastigen Weg (auch wenn ich nicht sicher bin, ob es einen gibt). Ich habe schon verschiedene Abschätzungen versucht (u.a. Dreiecksungleichung, Cauchy-Schwarz oder auch Quadrieren und Zurückführen auf eine binomische Formel o.Ä.), bin aber mit keiner zum Ziel gekommen. Hat jemand einen Ansatz für mich?
06.12.2014, 15:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinreichend wäre der Nachweis von $\begin{align} \frac{\|a\|+\|ab\|}{1+a^2+b^2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$ , was nach Umstellung äquivalent ist zu $\begin{align} 2\sqrt{2} \left( \|a\|+\|ab\| \right) \leq 2+2a^2+2b^2 \end{align}$ $\begin{align} 0 \leq \left(\sqrt{2}-\|a\| \right)^2 + \left(\|a\|-\sqrt{2}\|b\|\right)^2 \end{align}$ .
06.12.2014, 15:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man erstmal alles quadrieren und vereinfachen. Dann erhält man, dass die Ungleichung äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} 4a^2b\leq 1+2b^2+a^4+b^4 \end{eqnarray}$ Dies kann man zeigen, indem man $\begin{eqnarray} 0\leq \left(a-\frac{2b}{a}\right)^2 \end{eqnarray}$ ausnutzt. (Der Fall $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ ist trivial) Edit: Ist nicht einfacher oder so, aber eine Alternative kann ja nicht schaden.
06.12.2014, 18:33	Zuris	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden! Auf den ersten Schritt von Guppis Weg war ich sogar noch gekommen, hab aber dann leider nicht mehr gesehen, wie es weitergeht...

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