Aufstellen einer Summenformel zur Berechnung des Konvergenzbereiches

06.12.2014, 17:17	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufstellen einer Summenformel zur Berechnung des Konvergenzbereiches Meine Frage: Folgende Reihe ist gegeben: $\begin{eqnarray} s=\frac{x}{1!}+\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{7}}{3!}+\frac{x^{10}}{4!}+... \end{eqnarray}$ Beim Berechnen des Konvergenzbereiches selbst habe ich keinerlei Schwierigkeiten die Konvergenzradien zu berechnen, allerdings erschließen sich mir Summenformeln immer nur schleppend und gerade über diese bin ich gestolpert, da ich nicht weiß, wie ich die Potenz immer wieder mit 3 addieren kann. Meine Ideen: Weit bin ich leider noch nicht mit der Lösung. Meine erste Idee war: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{?}}{n!} \end{eqnarray}$ Aber ich stolpere immer wieder über den Exponenten und weiß nicht, wie ich ihn wählen soll. Kann mir jemand einen Denkanstoß geben? Ich habe es auch schon für n=0 versucht, aber komme auch dort nicht weiter. Wäre dankbar für jegliche Hilfe!
06.12.2014, 17:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du für $\begin{eqnarray} x^0+x^3+x^6+x^9+\dots \end{eqnarray}$ etwas passendes konstruieren?
06.12.2014, 17:40	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, mir ist es gerade wie Schuppen von den Augen gefallen. Für $\begin{eqnarray} s=x^{0}+x^{3}+x^{6}+x^{9}+... \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0} ^\infty x^{3n} \end{eqnarray}$ Also ist meine Summenformel $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0} ^\infty \frac{x^{3n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ Das war ja eigentlich gar nicht schwer. Ich habe wohl viel zu kompliziert gedacht. Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
06.12.2014, 18:07	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bräuchte nun doch nochmals Hilfe. Laut Lösung soll mein Konvergenzradius \|x\|< $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ sein. Nun rechne ich über das Quotientenkriterium: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{3n+1}}{(n+1)!}: Q = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{3(n+1)+1}}{(n+1)+1)!}\frac{(n+1)!}{x^{3n+1}}<br /> = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{3n+4}}{(n+2)!}\frac{(n+1)!}{x^{3n+1}}<br /> = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{3}}{n+2}\frac{n+1}{1}<br /> = \|x\|^{3} < \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+2}\frac{n+1}{1}<br /> =\|x\|^{3} < \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray}$ Und letztendlich würde sich hierfür dann doch $\begin{eqnarray} r=\|x\|<1 \end{eqnarray}$ ergeben, oder? Habe ich falsch gekürzt?
06.12.2014, 18:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sollen die $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ -Zeichen mitten in deiner Rechnung? Und ja, du hast falsch gekürzt, sieh dir noch einmal $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \end{eqnarray}$ an.
06.12.2014, 18:18	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
<kleine Anmerkung> Bisher hast du aber 'nur' die Reihendarstellung angegeben. Ich könnte mir vorstellen, dass mit der Summenformel eigentlich was anderes gemeint ist. Kennst du denn die Exponentialreihe $\begin{eqnarray} e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}~? \end{eqnarray}$ <und schon bin ich wieder raus>
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06.12.2014, 18:25	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsache, die Fakultäten falsch gekürzt. Für das Quotientenkriterium würde sich also ergeben $\begin{eqnarray} Q = \|x\|^{3}\lim_{n \to \infty} \|\frac{1}{n+2}\| <1 \end{eqnarray}$ Für den Konvergenzradius also $\begin{eqnarray} r= \|x\|^{3} < \|n+2\|<br /> = \|x\| < \infty \end{eqnarray}$ Die Notation ist mir, um ehrlich zu sein, selbst ein Rätsel. Ich habe sie einfach nur so kopiert, wie unser Prof es 2-3mal vorgeführt hat.
06.12.2014, 18:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so wie es oben steht, wird das wahrscheinlich nicht an der Tafel gestanden haben, das ist nämlich schlichtweg falsch. Da solltest du noch einmal nachschlagen bzw. nachfragen, wie ihr den Konvergenzradius berechnet. Gekürzt ist jetzt aber korrekt.

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