Integral auf Existenz untersuchen...

06.12.2014, 19:27

nureinnick

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Integral auf Existenz untersuchen...

Das bedeutet doch, zu zeigen, ob da ein endliches Ergebnis herauskommt, und nichts unendliches / divergierendes usw... Bei dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty | \frac{sin(x)}{x} | \end{eqnarray*}$ finde ich aber erst garkeinen Anfang. Substituieren kann man da ja nicht groß, zumindest nicht insofern, als dass es etwas bringen könnte (oder?) und partiell komme ich auch irgendwie nicht weiter... Wer hat nen Tipp für mich?

06.12.2014, 19:48

Guppi12

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Guten Abend,

schau dir mal für $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_\pi^{(N+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx = \sum_{k=1}^N\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$ an.

Versuch doch mal, damit etwas herumzuspielen, nach oben/unten abzuschätzen und sehen, ob du damit auf eine Aussage bezüglich deines Integrals kommst.

06.12.2014, 20:02

nureinnick

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Muss ich nicht normal erstmal die Stammfunktion bilden?

06.12.2014, 20:07

Guppi12

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Stammfunktion bestimmen ist nur eine Möglichkeit, Integrale zu untersuchen. Insbesondere wenn nur nach Existenz / nicht Existenz gefragt ist (man also im Falle von Existanz auch garkeinen exakten Wert angeben müsste), ist es meist eher umständlich eine Stammfunktion zu suchen. In diesem Fall wird es dir nicht gelingen, eine (elementare) Stammfunktion anzugeben.

Was bedeutet es denn für ein uneigentliches Integral zu existieren? (Diese Definition hast du mir neulich schon einmal rausgeschrieben, du solltest sie aber auch jetzt natürlich parat haben)

06.12.2014, 20:15

qweA

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RE: Integral auf Existenz untersuchen...
Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} \int_1^\pi | \frac{sin(x)}{x}<\int_1^\pi \frac{1}{x}=ln(\pi ) \end{eqnarray*}$

06.12.2014, 20:19

nureinnick

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Ach du meinst: "Sei I=[a, b[, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R U { $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ } Dann heißt f: I $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ R Riemann-integrierbar, falls f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R([a, s]) für alle a<s<b und $\begin{eqnarray*} lim_{s \to b, s<b} \int_a^s f(x) dx \end{eqnarray*}$ existiert. Dieser wird dann mit $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx \end{eqnarray*}$ bezeichnet" Also Limes gegen (k+1)pi entwickeln... Na gut, der limes ist mir gleich ein wenig sympatischer ^^

@ quea: Hab dich übersehen... Das ist ja logisch, und würde dann ja auch für die Obergrenze (k+1)pi gelten, da diese ja ein Vielfaches ist (bzw. mit kleiner gleich für alle N in R, da der Sinus ja immer kleiner gleich 1 ist). Und der Logarithmus strebt für unendlich gegen unendlich, daher existiert das Integral nicht, oder?

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06.12.2014, 20:22

Guppi12

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Aber auch diesmal heißt die Funktion dann nicht Riemann-integrierbar, sondern uneigentlich Riemann integrierbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist denn $\begin{eqnarray*} f\in R([1,s]) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1<s<\infty \end{eqnarray*}$ ? Das wäre ja die erste zu überprüfende Bedingung.

06.12.2014, 20:24

nureinnick

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Ich schreibe zu langsam ^^

Ähm, eigentlich doch nicht, da der Limes ja nicht konvergiert, oder?

06.12.2014, 20:26

Guppi12

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Das hat mit dem Limes erstmal garnichts zu tun. Gefragt ist, ob für festes $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ der Integrand integrierbar ist auf $\begin{eqnarray*} [1,s] \end{eqnarray*}$ .

06.12.2014, 20:32

nureinnick

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Nach dem Satz ist die Funktion doch uneigentlich riemannintegrierbar, falls der Limes s gegen b existiert, oder? und da b unendlich ist, würde ich mal sagen, nein... Oder? Zumindest nicht für Vielfache von pi halbe, weil die Stammfunktion da ja gleich dem Logarithmus wäre

06.12.2014, 20:37

Guppi12

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Zunächst mal ist das kein Satz, sondern eine Definition.

Und diese Definition hat zwei Teile (ich nenne die Funktion, um die es geht auch mal f)

1. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist Riemann integrierbar auf jedem Intervall $\begin{eqnarray*} [1,s] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 1<s<\infty \end{eqnarray*}$ .

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{s\to\infty}\int_1^s f(x) dx \end{eqnarray*}$ existiert.

Dabei hat die erste Bedingung nichts mit der zweiten zu tun. Ich wollte jetzt erstmal klären, ob die erste Bedingung erfüllt ist. Wenn du der Meinung bist, dass das nicht so ist, dann gib mir doch bitte eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ an, für die f nicht integrierbar aus $\begin{eqnarray*} [a,s] \end{eqnarray*}$ ist. Wenn du damit richtig lägst, bräuchten wir uns mit dem Limes ja garnicht mehr rumschlagen.

Zitat:

und da b unendlich ist, würde ich mal sagen, nein... Oder? Zumindest nicht für Vielfache von pi halbe, weil die Stammfunktion da ja gleich dem Logarithmus wäre

Die Stammfunktion des Integranden ist sicherlich nicht der Logarithmus.

06.12.2014, 20:50

nureinnick

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Ok. So deutlich hat der Prof das nicht getrennt smile

smile

Eine Zahl, für die das Integral nicht integrierbar wäre... Eigentlich doch pi oder ein Vielfaches von pi, oder? Weil dafür wäre der Sinus Null und das Integral von Null kann ja jede konstante Zahl sein...

06.12.2014, 20:57

Guppi12

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Es existiert also deiner Meinung nach das Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^\pi \frac{|sin(x)|}{x} \end{eqnarray*}$ nicht?

Zitat:

Weil dafür wäre der Sinus Null und das Integral von Null kann ja jede konstante Zahl sein...

Das verstehe ich nicht. Die funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to\mathbb R, x \mapsto x-\pi \end{eqnarray*}$ ist auch gleich null für $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist doch auf $\begin{eqnarray*} [1,\pi] \end{eqnarray*}$ auch integrierbar.

06.12.2014, 21:06

nureinnick

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verwirrt

Stimmt auch wiederrum... Mensch, bei dem Bruch 1 über x ln x war das einfacher, da musste ich nur mehrmals partiell ableiten und schon wurde deutlich, dass die Fläche unendlich groß wurde... Aber ich wüsste jetzt keine Zahl, für die das Integral prinzipiell nicht existieren könnte (kann ja auch an meinen Fähigkeiten liegen, dass ich das Integral nicht gebildet kriege)

Wie soll man denn beweisen, R([a,s]) ist doch nur die Menge der riemannintegrierbaren Funktionen, oder? Wie soll man denn zeigen, dass die Funktion nicht in dieser Menge liegt, wenn man nicht mehr als Funktion und diese Menge hat (die man garnicht komplett kennt?) unglücklich

unglücklich

06.12.2014, 21:22

Guppi12

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Zitat:

Aber ich wüsste jetzt keine Zahl, für die das Integral prinzipiell nicht existieren könnte

das ist ja auch richtig. Unser Integrand gehört zu einer Klasse von Funktionen, die auf jedem beliebigen kompakten Intervall integrierbar sind, nämlich welche? (Dazu habt ihr einen Satz gehabt).

Ich will eigentlich darauf hinaus, dass die erste Bedingung erfüllt ist und es an der zweiten Bedingung scheitert. Ich habe da so drauf rumgeritten, weil ich (zurecht) den Eindruck hatte, dass dir diese ganzen Begriffe noch überhaupt nicht klar sind und jede Wiederholung nur förderlich sein kann.

06.12.2014, 21:32

nureinnick

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Zitat:

das ist ja auch richtig. Unser Integrand gehört zu einer Klasse von Funktionen, die auf jedem beliebigen kompakten Intervall integrierbar sind, nämlich welche? (Dazu habt ihr einen Satz gehabt).

Die Funktion ist stetig, oder?

Zitat:

Ich will eigentlich darauf hinaus, dass die erste Bedingung erfüllt ist und es an der zweiten Bedingung scheitert. Ich habe da so drauf rumgeritten, weil ich (zurecht) den Eindruck hatte, dass dir diese ganzen Begriffe noch überhaupt nicht klar sind und jede Wiederholung nur förderlich sein kann.

Stimmt, der Dozent klatscht das einfach so an die Tafel und erläutert es kaum bis garnicht. böse

böse

Ich geb mein Bestes, aber naja. Ich bin ehrlich für jede Hilfe dankbar.

06.12.2014, 21:42

qweA

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Zitat:

Original von Guppi12

$\begin{eqnarray*} \int_\pi^{(N+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx = \sum_{k=1}^N\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$ an.

Schätze nun weiter \sum_{k=1}^N\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx <...

betrachte dazu die grenzen des integrales und den nenner
der trick ist!
du schätz das integral soweit bis du das integral auswerten kannst!

06.12.2014, 21:46

Guppi12

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Zitat:

Die Funktion ist stetig, oder?

richtig.

Zitat:

Ich geb mein Bestes, aber naja. Wir sind da alle ordentlich am Knabbern.

Ok, deswegen hatte ich diese Diskussion zum ersten Punkt der Definition angestrebt. Dir muss ja klar sein, was für uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit zu zeigen ist. Ab jetzt vergisst du es nicht mehr (hoffentlich) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist ja (deinen Posts nach zu urteilen) inzwischen ein offenes Geheimnis, dass die Funktion nicht uneigentlich Riemann-integrierbar ist. Es ist also zu widerlegen, dass der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{s\to\infty}\int_1^s f(x) dx \end{eqnarray*}$ existiert.

Da der Integrand positiv ist, gilt

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty f(x) dx \geq \int_\pi^{(N+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx = \sum_{k=1}^N\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Es würde also reichen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx = \infty \end{eqnarray*}$ . Da kannst du dir ja jetzt mal überlegen, warum das so ist.

06.12.2014, 22:12

nureinnick

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Zitat:

Ok, deswegen hatte ich diese Diskussion zum ersten Punkt der Definition angestrebt. Dir muss ja klar sein, was für uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit zu zeigen ist. Ab jetzt vergisst du es nicht mehr (hoffentlich)

Stetigkeit, Stetigkeit, Stetigkeit ^^

Zitat:

Es ist ja (deinen Posts nach zu urteilen) inzwischen ein offenes Geheimnis, dass die Funktion nicht uneigentlich Riemann-integrierbar ist.

Ist wohl Google nach zu urteilen eines der Paradebeispiele... Lösungswege waren aber keine dabei (vielleicht auch letztenends besser so)

Zitat:

Da kannst du dir ja jetzt mal überlegen, warum das so ist.

da verstehe ich noch nicht so ganz, wieso meine Idee von eben nicht greift (wurde ja auch von quea so angedeutet, wenn ich es nicht falsch verstanden habe...) Der Sinus liegt immer zwischen 1 und -1, dementsprechend ist die Funktion $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^N \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|sinx|}{x} <=\sum_{k=1}^N \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ Aber: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^N \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{1}{x}=\sum_{k=1}^N ln(x) \end{eqnarray*}$ Vom Integral ln(x) ist aus der Vorlesung bekannt, dass er für beliebig große s in R auch unendlich groß wird, wenn auch recht langsam... Und damit wäre ja auch bewiesen, dass das Integral nicht integrierbar ist, da ja schon die Summe der Vielfachen von Pi eine unendliche Fläche erzeugen, dementsprechend auch die komplette Funktion.

06.12.2014, 22:14

Guppi12

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Zitat:

da verstehe ich noch nicht so ganz, wieso meine Idee von eben nicht greift

weil eine Abschätung nach oben nicht viel bringt, wenn man Divergenz zeigen will. Da muss man natürlich nach unten abschätzen.

Es gilt ja schließlich auch $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty 0 dx \leq \int_0^\infty xdx = \infty \end{eqnarray*}$ . Trotzdem existiert das erste Integral.

06.12.2014, 22:30

nureinnick

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Wenn man nun aber $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{|sinx|}{x} \end{eqnarray*}$ nehmen würde und hier dann die Substitution $\begin{eqnarray*} x=\frac {k\pi}{2} \end{eqnarray*}$ vornehmen würde? Dann wären alle |sin(x)|=1. Und dementsprechend wäre es gleich der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^N ln(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^N ln(\frac {k\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ , und würde dann divergieren. Und da die Menge der Zahlen eine Teilmenge der Zahlen des Integrals wäre, müsste dann doch auch das komplette Integral divergieren.

06.12.2014, 22:40

Guppi12

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Schreib das doch mal ordentlich auf. Ich kann so nicht ganz folgen, was du machen willst. An welcher Stelle willst du substituieren? Klappt dann die Aufspaltung in die Summe auch noch?

Schreib es einfach mal ordentlich auf bitte.

06.12.2014, 22:57

nureinnick

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Ok, habs mir auch mal auf ein Blatt Papier aufgeschrieben... Die Aufspaltung in die Summe ist nur zufällig mit reingerutscht, jetzt mal in ordentlich:

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty |\frac {sin(x)}{x}| dx \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} x=\frac {k\pi}{2}, k \in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac {2}{\pi}}^\infty |\frac {1}{\frac {k\pi}{2}}| \frac {2dk}{\pi} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich dann umformen nach: $\begin{eqnarray*} \int_{\frac {2}{\pi}}^\infty |\frac {1}{k\pi^2}| dk=[ln(k\pi^2)]_{\frac {2}{\pi}}^\infty \end{eqnarray*}$ Und ln von unendlich wird ja auch unendlich groß, daher würde ich sagen dass es divergiert.

Edit: Ich glaub, ich hab die Integration des Produkts von k pi^2 vergessen... Kann man theoretisch doch noch durch eine zweite Substitution mit L=k pi^2 beheben oder einfach 1/pi^2 per Faktorregel aus dem Integral ziehen, oder?

07.12.2014, 00:04

Guppi12

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Du kannst doch nicht einfach eine reelle Größe zu einer natürlichen Zahl wegsubstituieren geschockt

geschockt

Denk bitte nochmal eine Weile über den Tipp mit der Summe nach, ich gehe jetzt erstmal schlafen. Morgen gerne mehr.

07.12.2014, 17:05

nureinnick

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Zitat:

Du kannst doch nicht einfach eine reelle Größe zu einer natürlichen Zahl wegsubstituieren geschockt

Warum nicht? Ich betrachte doch damit einfach nur die Teilmenge der möglichen x, für die der Betrag des Sinus =1 wird... Und wenn ich für diese Teilmenge die Divergenz beweise, müsste dass doch eigentlich auch die Divergenz des gesamten Integrals beweisen, oder?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx = \infty \end{eqnarray*}$

Hmm, ich krieg da keine Idee mehr, ich meine, der Sinus aufgeleitet wäre ja der negative Cosinus, durch den Betrag ist das Vorzeichen positiv, der Betrag von Kosinus von k pi oder (k+1)pi ist 1, summiert gegen unendlich würde das alleine divergieren, aber jetzt weiß man ja nicht, wie die restliche Stammfunktion aussieht, also was da noch eventuell addiert oder subtrahiert würde... ich weiß nicht, ohne Stammfunktion fehlt mir da irgendwie der Boden unter den Füßen.

07.12.2014, 17:58

TTkachu

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Kurze Intervention (Nichts mit dem Thema zu tun)
Nicht böse sein aber statt "aufleiten" sagt man eher "integrieren". Liebe Grüsse smile

smile

08.12.2014, 00:27

Guppi12

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Schau dir nochmal genau an, wie die Substitutionsregel funktioniert. So jedenfalls nicht.

Machen wir mal hier weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx = \infty \end{eqnarray*}$

Kannst du hier nicht vielleicht irgendwie erstmal weiter nach unten abschätzen? Beachte, dass du jedes einzelne Integral getrennt abschätzen kannst.

08.12.2014, 21:03

nureinnick

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Ok, alle einzelnen Integrale sind größer als Null, denke ich... Durch die Betragsstriche... Aber kA, wie soll ich eine Funktion abschätzen, von der ich garnicht weiß wie sie aussieht? Wenn man das partiell ableitet, und zwar so, dass man nicht auf ln(x) im Integral kommt, ergibt sich $\begin{eqnarray*} |\frac{cox(x)}{x} | - (\sum_{k=1}^n |\frac {cos^{(n)} n!}{x^{-n}}|) \end{eqnarray*}$ ist, wenn ich mich nicht allzusehr vertan habe (Vorzeichen kann man doch durch die Betragsstriche kicken, oder?

08.12.2014, 21:07

Guppi12

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Ok, ich glaube wir kommen so nicht weiter. Du scheinst nicht auf die (eigentlich nicht so schwere) Abschätzung zu kommen.

Es gilt doch für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}\mathrm dx \geq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{(k+1)\pi}\mathrm dx \end{eqnarray*}$ . Setz das ein und mache damit weiter.

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