Variablentransformation harm. Oszillator

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06.12.2014, 20:44	Erwin1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Variablentransformation harm. Oszillator Hallo! Ich habe Probleme mit folgender Variablentransformation, diese brauche ich im Rahmen der Lösung der Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators. $\begin{eqnarray} x=x_{0} \cdot y \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ eine Konstante, y eine dimensionslose Größe und x eine Weglänge ist. $\begin{eqnarray} dx=x_{0} \cdot dy \end{eqnarray}$ Und ab jetzt habe ich keine Ahnung wieso und vor allem wie man das auf diese Art rechnet: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}=\frac{dy}{dx} \frac{d}{dy}=\frac{1}{x_{0}} \frac{d}{dy} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}_{0}} \frac{d^{2}}{dy^{2}} \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht wie ich von dx (einer meiner Meinung nach infinitesimal kleinen Weglänge) zum Operator $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \end{eqnarray}$ komme!? Sehe ich da einen mathematischen Kniff nicht!? Danke!
06.12.2014, 22:51	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Keine Ahnung, aber könntest Du trotzdem mal andeuten, an welcher Stelle der Behandlung des Oszillators Du bist, was x_0 bedeutet? Vielleicht finden wir einen Zusammenhang?
07.12.2014, 09:59	Erwin1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Hallo! Es geht konkret um die Gitterschwingung in Kristallen, dabei haben wird bei der Hamilton-Funktion wie folgt angesetzt: $\begin{eqnarray} H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{\omega^{2}x^{2}m}{2} \end{eqnarray}$ Damit schaut die Schrödinger-Gleichung wie folgt aus: $\begin{eqnarray} [{-\frac{\hbar^{2}}{2m}} {\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}}+\frac{\omega^{2}x^{2}m}{2}]\Psi (x)=E \Psi (x) \end{eqnarray}$ Nun kann man das entweder mit Leitoperatoren (womit ich mich später noch beschäftigen möchte) oder durch Transformation der SG lösen kann. Dabei werden folgende Größen eingeführt: Energieskala: $\begin{eqnarray} \epsilon=\frac{E}{\hbar \omega} \end{eqnarray}$ Oszillatorlänge: $\begin{eqnarray} x_{0}=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \end{eqnarray}$ ---> $\begin{eqnarray} x=y \cdot x_{0} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ eine dimensionslose Größe und $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ einer Längeneinheit ist ( $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ soll denke ich die Ruhelage der Gitterschwingungen sein) Nun soll die SG derart transformiert werden das sie so ausschaut: $\begin{eqnarray} (-\frac{d^{2}}{dy^{2}} + y^{2} - 2\epsilon) \tilde{\Psi}(y)=0 \end{eqnarray}$ Und ich verstehe nicht wie man das $\begin{eqnarray} {\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}} \end{eqnarray}$ durch das $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dy^{2}} \end{eqnarray}$ ersetzten kann, also die Transformation des Ableitungsoperators. Das ist ja was ich in meinem 1.Post beschrieben habe (glaube ich ). Die Gleichung als ganzes wird dann mit einem Potenzreihenansatz gelöst, den habe ich verstanden, nur eben der Weg zur transformierten SG ist mir schleierhaft. Ich hoffe jz ist es klar was ich meine!? Vielen Dank! lg.
07.12.2014, 12:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx}=\frac{dy}{dx} \frac{df}{dy} \end{eqnarray}$ ist doch nichts anderes als die bekannte Kettenregel Die wird angewandt auf y=x/x_0 und das ganze dann als Differentialoperator geschrieben.
07.12.2014, 13:40	Erwin1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Ok, ist das in meinem Skriptum ev. etwas schlampig formuliert? Bei mir steht nämlich: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy} \end{eqnarray}$ , also das f fehlt jeweils. Also ist mein $\begin{eqnarray} f(x)=y=\frac{x}{x_{0}} \end{eqnarray}$ und darauf wende ich die Kettenregel an? Also: $\begin{eqnarray} f(y)=y=\frac{x}{x_{0}} \end{eqnarray}$ ---> $\begin{eqnarray} \frac{df(y)}{dx}=\frac{dy}{dx}\frac{df(y)}{dy} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x_{0}} \end{eqnarray}$ gilt und damit definiere ich mir meinen neuen Differentialoperator, weil ja die SG ursprünglich von x abhängig war, und ich auch entsprechend nach x abgeleitet habe, jetzt hängt aber meine Diff. Gl von der dimensionslosen Größe y=x/x_0 ab und damit muss ich meinen Ableitungsoperator entsprechend normieren. Stimmt diese Überlegung mal soweit? Ich hab bisschen Probleme bei solchen Sachen weil wir bis jz eigentlich immer nur explizit Ableitungen irgendwelcher Funktionen berechnet haben. Aber dann verstehe ich nicht wie ich weiters auf das $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}} \end{eqnarray}$ komme!? $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}f(y)}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\frac{df(y)}{dx}=\frac{d}{dx}[\frac{1}{x_{0}}\frac{df(y)}{dy}]=...??? \end{eqnarray}$ Herauskommen sollte nämlich $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}}=\frac{1}{x_{0}^{2}}\frac{d^{2}}{dy^{2}} \end{eqnarray}$ Wenn mir das noch jem erklären könnte wäre das super! Vielen Dank! lg.
07.12.2014, 14:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Das $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{1}{x_0}= \frac{1}{x_0}\frac{df}{dy} \end{eqnarray}$ ist die bekannte Kettenregel, angwandt auf f(y(x)) mit y(x)=x/x_0. Beim Differentialoperator lässt man das Argument f weg $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}=\frac{1}{x_0}\frac{d}{dy} \end{eqnarray}$ Das ist so ähnlich wie der Unterschied von g(x) (Funktionswert einer Funktion g an der Stelle x) und g (die Funktion selbst, hier lässt man das Argument weg) Diesen Differentialoperator könntest du hier $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}f(y)}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\frac{df(y)}{dx}=\frac{d}{dx}[\frac{1}{x_{0}}\frac{df(y)}{dy}]=... \end{eqnarray}$ einfach mal auf der rechten Seite verwenden
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07.12.2014, 14:21	Erwin1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Ahh...jz hab ichs! Vielen Dank! Beim ansehen ist mir noch was aufgefallen, könnte man das so auch erklären: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dy} \end{eqnarray}$ also einfach erweitern, und weil ja $\begin{eqnarray} dx=x_{0}dy \end{eqnarray}$ ist könnte ich das einsetzen und erhalte: $\begin{eqnarray} \frac{d}{x_{0}dy}\frac{dy}{dy}=\frac{1}{x_0}\frac{d}{dy} \end{eqnarray}$ oder ist das mathematisch unsauber oder einfach nur falsch?? lg.
07.12.2014, 14:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Ich bin kein Freund von diesem Rechnen mit Differentialen als wären es Zahlen, also z.B. eine Bruch damit zu erweitern. Es ist sicher ein nützliches Kalkül, wenn man weiß was man tut. Bei Physikern und Ingenieuren ist es weit verbreitet.
07.12.2014, 14:37	Erwin1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Also ist es rein formal richtig? Die 2.Ableitung würde ja dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}=\frac{1}{x_{0}}\frac{d}{dy}\frac{1}{x_{0}}\frac{d}{dy}=\frac{1}{x_{0}^{2}}\frac{d^{2}}{dy^{2}} \end{eqnarray}$ Kann man das machen ein $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}} \end{eqnarray}$ einfach in eine Multiplikation zweier einfacher Operatoren aufzuspalten? Worin siehst du die Probleme wenn man Differentiale wie Zahlen behandelt?
07.12.2014, 14:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}} \end{eqnarray}$ ist keine Multiplikation im herkömmlichen Sinn sondern die Hintereinanderausführung von zwei Differentialoperatoren. Aber hier kann man das so machen, wie du es getan hast. Das ist der Punkt: Man muss wissen, was man tut. Und weil ich das nicht weiß, mag ich es nicht
07.12.2014, 15:01	Erwin1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Damit ist für mich alles beantwortet, vielen Dank! lg.
07.12.2014, 18:25	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation harm. Oszillator Auch von mir ein ganz besonderes Dankeschön für die Behandlung der Frage, URL! Das Verrückte in der Quantenmechanik ist ja, schwacher Erinnerung nach, daß man nicht mehr mit den üblichen Meßgrößen hantiert, Energie, Entfernungen, Impulsen, sondern mit Observablen = Operatoren, die bei bestimmten Zuständen / Vektoren bestimmte (Eigen-) Werte annehmen können. Bei den Atomen die Orbitalen mit Energienieveaus, Spins, Wahrscheinlichkeits"wolken" usw. Wie schon gesagt, etwas für Verrückte. Noch einen schönen Adventssontag!

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