Satz von Rouche

07.12.2014, 00:05	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Rouche Hall zusammen, ich bin an folgender Aufgabe dran: Für jedes $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A(x) \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Matrix, deren Koeffizienten stetige Funktionen von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sind. Sei $\begin{eqnarray} \lambda_0 \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} A(x_0) \end{eqnarray}$ mit algebraischer Vielfachheit $\begin{eqnarray} k\geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ klein genug, dass $\begin{eqnarray} \lambda_0 \end{eqnarray}$ der einzige Eigenwert von $\begin{eqnarray} A(x_0) \end{eqnarray}$ in der abgeschlossenen Kugel $\begin{eqnarray} \overline{B(\lambda_0,\epsilon)} \end{eqnarray}$ ist. Zeigen Sie: Es gibt ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ , sodass für $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Eigenwerte (entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt) in $\begin{eqnarray} B(\lambda_0,\epsilon) \end{eqnarray}$ besitzt. Hinweis: betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray} p(z,x):=det(A(x)-z) \end{eqnarray}$ . Es ist so, dass wir ja für jedes x, dass wir einsetzten eine Matrx A erhalten. Insbesondere sind diese in jeder Komponente stetig. Wir erhalten also ein charaketeristisches Polynom welches komplexe Argumente z zulässt und deren Koeffizienten durch das ändern von x, das Ausgangspolynom etwas stört. Man kann es so minimal stören, dass der Satz von Roche anwendbar ist, und die Anzahl der Nullstellen gezählt mit algebraischer Vielfachheit, die gleiche Anzahl ist, wir das Ausgangspolynom Nullstellen besitzt. Die Nullstellen müssen nicht gleich sein, aber Sie sind in der Anzahl gleich. Das die Beweisidee. Nur wie gehe ich formal vor? Grüße
08.12.2014, 20:13	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, womöglich hat der ein oder andere eine Idee, wie ich weiter vorgehen kann? Grüße
08.12.2014, 20:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Rouche Du könntest auch einfach sagen, dass das nullstellenzählende Integral stetig von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt.
08.12.2014, 21:37	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage, die mir noch im Kopf herumschwirrt ist, was sagt mir, dass ich so eine Delta-Umgebung finde? Wieso lässt sich so eine Umgebung um x0 legen, sodass ich ein so minimal gestörtes Polynom mit dem Ausgangspolynom vergleichen kann? Es scheint irgendwie auf der Hand zu liegen, aber explizit will mir das nicht einleuchten.
08.12.2014, 21:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn deine $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Eigenwerte in der Kreisscheibe mit variierendem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ herumschwirren, bleiben sie zumindest innerhalb eines bestimmten Intervalls um $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ innerhalb der Scheibe. Die minimale Länge eines solchen Intervalls ist dein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ .
08.12.2014, 21:49	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so hatte ich mir das auch irgendwie gedacht. Um jeden Eigenwert existiert eine kleine offene Umgebung. Die Kleinste dieser Umgebungen definiert mein delta in der Art, dass der Eigenwert immer noch bei kleinen Änderungen x0 in dieser Umgebung bleibt. Wie gehe ich aber formal vor, oder meinst du, dass langt als Beweis, wohl eher nicht?
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08.12.2014, 21:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du alles noch sauber zusammensetzt, würde es eigentlich ausreichen.
08.12.2014, 22:07	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke dir vielmals!

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