x^x logarithmisch ableiten, aber warum?

07.12.2014, 03:05

littleOranges

x^x logarithmisch ableiten, aber warum?

Meine Frage:
Hallo,

unser Prof. hat uns die Aufgabe gegeben y = x^x abzuleiten.
Ich dachte mir so, ja kein problem, das sollte dann wohl: x*x^x-1 sein.
Aber scheinbar ist das falsch und ich hatte mal ein bisschen rumgefragt und die antwort bekommen, man solle das logarithmisch ableiten. Ich frage mich nur wieso?

Meine Ideen:
y = x^x
y' = x*x^x-1
...
fail

07.12.2014, 05:12

Hausmann

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RE: x^x logarithmisch ableiten, aber warum?
Man benötigt die logarithmische Ableitung, wo man sich erstmal den Logaritmus der Funktion greift und dann - wie durch Zauberhand - die gesuchte Ableitung der Funktion erhält (Kettenregel): $\begin{align*} \left(\ln f(x)\right)^{\prime}=\frac{1}{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)\Rightarrow f^{\prime}(x)= f(x)\cdot \left(\ln f(x)\right)^{\prime} \end{align*}$
So, und jetzt bist Du am Zuge ... smile

07.12.2014, 10:24

Helferlein

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Zur eigentlichen Frage des "wieso" sollte man vielleicht noch erwähnen, dass du es mit einer Verkettung zu tun hast und die von dir verwendete Regel nur für Potenzfunktionen der Form $\begin{eqnarray*} f (x)=a^x \end{eqnarray*}$ mit festem a gilt. Da die Basis hier aber variabel ist, versagt die Regel.

07.12.2014, 14:39

littleOranges

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RE: x^x logarithmisch ableiten, aber warum?

Zitat:

Original von Hausmann
Man benötigt die logarithmische Ableitung, wo man sich erstmal den Logaritmus der Funktion greift und dann - wie durch Zauberhand - die gesuchte Ableitung der Funktion erhält (Kettenregel): $\begin{align*} \left(\ln f(x)\right)^{\prime}=\frac{1}{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)\Rightarrow f^{\prime}(x)= f(x)\cdot \left(\ln f(x)\right)^{\prime} \end{align*}$
So, und jetzt bist Du am Zuge ... smile

Danke für Deine Antwort. Hat denn jede Funtion sozusagen einen Logarithmus? Die Frage erscheint jetzt vielleicht etwas dämlich, aber ich hab wirklich nicht so die Ahnung von Logarithmen.

Danke dir smile

07.12.2014, 14:44

littleOranges

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Zitat:

Original von Helferlein
Zur eigentlichen Frage des "wieso" sollte man vielleicht noch erwähnen, dass du es mit einer Verkettung zu tun hast und die von dir verwendete Regel nur für Potenzfunktionen der Form $\begin{eqnarray*} f (x)=a^x \end{eqnarray*}$ mit festem a gilt. Da die Basis hier aber variabel ist, versagt die Regel.

Hey, ich danke Dir für Deine Antwort.
Also du meinst ja wenn die Basis variabel ist, muss man die Funktion logarithmisch ableiten. Aber wenn man z.B. die Funktion x² hat, kann man dann die Basis nicht auch als variabel ansehen? Folglich wäre die Ableitung: 2x

Danke dir smile

07.12.2014, 15:24

mYthos

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Zitat:

Original von littleOranges
... wenn die Basis variabel ist, muss man die Funktion logarithmisch ableiten.

Eben nicht, obwohl dann im Exponenten ein Logarithmus steht. Das ist dann aber eine andere Regel.
Schreibe den Term $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ einfach in eine e-Potenz um

$\begin{eqnarray*} x = e^{\ln x} \ \to \ x^x = (e^{\ln x})^x = \ldots \end{eqnarray*}$
EDIT: Schreibfehler berichtigt.

nun weiter berechnen und nach der Kettenregel ableiten.

Die Regel versagt allerdings dennoch nicht, denn auch logarithmisch ableiten ist möglich:

$\begin{eqnarray*} \ln f(x) = x \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{x^x} = \ln x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

Anmerkung:
Wenn man will, kann man auch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ logarithmisch ableiten, obwohl das natürlich obsolet ist; nebenbei ist x = 0 auszuschließen:

$\begin{eqnarray*} \ln f(x) = \ln x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln f(x) = 2 \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{x^2} = \frac 2 x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 16:09

Calvin

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} x^x = (x^{\ln x})^x = \ldots \end{eqnarray*}$

Kleiner Tippfehler:
$\begin{eqnarray*} x^x = (e^{\ln x})^x = \ldots \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 16:21

mYthos

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Ja klar, danke, ist schon editiert ...

mY+

07.12.2014, 23:01

Helferlein

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Zitat:

Geistige Umnachtung, sorry. Richtig ist es natürlich genau umgekehrt: Die Basis muss variabel sein und der Exponent konstant.

08.12.2014, 00:17

Hausmann

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OT (?)
Darf ich noch ein kleines Dessert anbieten: $\begin{align*} \left(x^{ x^x} \right)' \end{align*}$ smile

08.12.2014, 02:08

mYthos

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{x^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln f(x) = x^x \ln x = e^{x \ln x} \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {f'(x)}{f(x)} = e^{x \ln x}(\ln x + 1) \cdot \ln x + e^{x \ln x} \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {f'(x)}{f(x)} = x^x (\ln^2 x + \ln x + \frac 1 x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^{x^x} \cdot x^x \cdot (\ln^2x + \ln x + \frac 1 x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^{x^x} \cdot x^{x-1} \cdot (x \ln^2 x + x \ln x + 1) \end{eqnarray*}$

Joo, hat ganz gut geschmeckt .. smile

mY+

08.12.2014, 08:51

Steffen Bühler

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Und wer noch nicht genug hat, dem sei zum Beispiel Tetration.org und das Tetration-Forum ans Herz gelegt.

Viele Grüße
Steffen

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