Umgangston! Rekursive Folge analysieren

07.12.2014, 12:28

Zefir

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Rekursive Folge analysieren

Meine Frage:
Mahlzeit, schönen Sonntag erstmal allen =)

Also ich sitze gerade an einer rekursiven Folge, soll diese analysieren und komme iwie nicht so richtig weiter -.-'

Meine Ideen:
Die Folge lautet: $\begin{eqnarray*} a_{1}=1 , a_{n+1} = 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} \end{eqnarray*}$

Wir sollen nachweisen : streng steigende Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz, Grenzwert herausfinden, alle Folgeglieder positiv.

Nun, das alle Folgeglieder positiv sind folgt daraus das das erste Glied positiv ist und aus der Annahme das die Folge streng monoton steigt (was noch zu beweisen wäre).

Die Konvergenz folgt aus Beschränktheit und der streng steigenden Monotonie.

Soweit meine Überlegungen, also habe ich erstmal mit der Beschränktheit angefangen :

$\begin{eqnarray*} a_{2} = 1,2745<br /> a_{3} = 1,2749<br /> a_{4} = 1,2749 \end{eqnarray*}$

Annahme : 1,3 ist eine mögliche obere Schranke.
Beweis:

$\begin{eqnarray*} IA: a_{1} < 1,3 \Rightarrow 1 < 1,3<br /> <br /> IS: n -> n+1 , <br /> IV a_{n} < 1,3<br /> <br /> a_{n+1} = 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} < 4*\frac{2+1.3}{6+1.3} = \frac{9.3}{7.3} = 1.27 < 1.3 \end{eqnarray*}$

so, damit hätte ich nachgewiesen, dass 1.3 eine mögliche obere Schranke, und die Folge somit beschränkt ist. Nun wollte ich mich an die Monotonie machen:

$\begin{eqnarray*} IA : a_{1} < a_{n+1}<br /> 1 < \frac{9}{7} <br /> <br /> IS : n -> n+1<br /> IV : a_{n} < a_{n+1} <br /> <br /> a_{n} < 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} <br /> <br /> \Rightarrow a_{n}(6+a_{n}) < 8+a_{n}<br /> <br /> \Rightarrow 0 > a_{n}^{2}+5a_{n}-8 \end{eqnarray*}$

Normalerweise habe ich dort immer einfach eine wahre Aussage erhalten. Also kein Quadrat gehabt... jetzt weis ich mit dem Ergebnis nich so recht umzugehen.
PQ-Formel liefert :

$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{-5}{2} + \sqrt{\frac{57}{4}} = 1.274<br /> <br /> x_{2} = \frac{-5}{2} - \sqrt{\frac{57}{4}} = -6.275 \end{eqnarray*}$

Nun währe die Ungleichung ja nur für x1 wahr.... aber was genau sagt mir das?! Und kann es sein das x1 schon der Grenzwert der Folge ist? Sieht irgentwie verdächtig danach aus... und wo kommt der plötzlich her wenn ich doch eigentlich nur die Monotonie beweisen wollte (falls es denn der GW ist... )
So viele fragen Big Laugh

Big Laugh

Hoffe ihr könnt mir helfen,

Mfg

07.12.2014, 12:56

URL

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RE: Rekursive Folge analysieren
Also ich bekomme $\begin{eqnarray*} a_2=12/7=1,71... \end{eqnarray*}$
und weißt du wirklich, was du hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} \textcolor{red}{<} 4*\frac{2+1.3}{6+1.3} = \frac{9.3}{7.3} = 1.27 < 1.3 \end{eqnarray*}$

tust?

07.12.2014, 13:26

Zefir

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Tatsache. Ohne Klammerung könnte ich doch aber statt $\begin{eqnarray*} 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} \end{eqnarray*}$ auch schreiben : $\begin{eqnarray*} \frac{8+a_{n}}{6+a_{n}} \end{eqnarray*}$ und das wären doch dann 9/7 wenn ich 1 einsetze oO

Naja egal, okay dann:

$\begin{eqnarray*} a_{2} = 1.714<br /> a_{3} = 1.925<br /> a_{4} = 1.981<br /> a_{5} = 1.995 \end{eqnarray*}$

Annahme: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < 2 \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} IA : a_{1} < 2 \Rightarrow 1 < 2<br /> IS: n \Rightarrow n+1<br /> IV: a_{n} < 2<br /> <br /> 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} < 4*\frac{2+2}{6+2} = \frac{16}{8} = 2 \end{eqnarray*}$

so haben wir es in der Vorlesung und in der Übung gemacht. Die frage ob ich weis was ich mache is ziemlich überflüssig, denn wenn ich wüsste was ich mache, würde ich hier wohl nicht um Hilfe beten wa? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.12.2014, 13:43

URL

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Du meinst also $\begin{eqnarray*} 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} = \frac{8+a_{n}}{6+a_{n}} \end{eqnarray*}$ ? Ohje unglücklich

unglücklich

Das Distributivgesetz ist nicht so dein Freund, oder?

Dann begründe doch mal, warum hier
$\begin{eqnarray*} 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} < 4*\frac{2+2}{6+2} = \frac{16}{8} = 2 \end{eqnarray*}$
das Kleinerzeichen gilt.

07.12.2014, 13:50

HAL 9000

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Verlinkung
Na solange hier noch Probleme mit dem Distributivgesetz ausdiskutiert werden müssen, macht es vielleicht nicht soviel Sinn draufhinzuweisen, dass die Aufgabe aktuell auch hier besprochen wird:

Rekursive Folge - Folgenglieder positiv, streng monoton wachsend, beschränkt, Grenzwert

Hab's aber trotzdem getan - und bin wieder weg. Wink

Wink

07.12.2014, 13:54

Zefir

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Hast du dich hier angemeldet um Leute die nicht so gut Mathe können wie du anzuklugscheissern oder ihnen zu helfen?

Dafür das du mich so von oben herab aneierst mangelts dir aber ganz gut an Logik. Wenn ich begründen könnte warum das gilt, dann wüsste ich wohl über das Distributivgesetzt bescheid und hätte wohl direkt verstanden das ich die Ausgangsfolge nicht so hätte Umformen können.

Genau wie deine erste Frage "Weißt du wirklich was du hier tust?". Aber das die schwachsinn ist hab ich dir ja eben schon aufgezeigt.

Also hilf mir, oder lass es bleiben. Aber spar dir deine Klugscheisser-Kommentare, die nerven.

Ps : Danke hal, hatte die SUFU benutzt aber den Thread wohl übersehen....

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07.12.2014, 14:06

URL

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Für jemanden, der am elementaren Schulstoff scheitert, nimmst du den Mund ganz schön voll.
Mein "Weißt du wirklich was du hier tust?" ist dem Umstand geschuldet, dass das Kleinerzeichen hier sogar richtig ist und eine Chance bestand, dass du das begründen kannst und somit vollkommen korrekt gemacht hast.
Das war eindeutig zu optimistisch. Ich bin hier raus.

07.12.2014, 14:07

HAL 9000

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@Zefir

Na soweit ist der andere Thread auch noch nicht. Und da ich ein ähnlicher "Klugscheißer" wie URL bin, wird dir meine Hilfe wohl auch nichts nützen. Wink

Wink

07.12.2014, 14:31

MC Klaus

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Ich als Threadersteller des anderen Threads melde mich mal eben kurz zu Wort.
Zefir, müsste es bei der Monotonie nicht am IA erstmal heißen: $\begin{eqnarray*} 1<\frac97 \end{eqnarray*}$ ?

Wegen $\begin{eqnarray*} 4\cdot\frac{2+1}{6+1}=4\cdot\frac37=\frac{12}{7} \end{eqnarray*}$ ?

Zum Distributivgerät:
Du musst das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ doch auch mit der 4 multiplizieren, oder mache ich da gerade einen ähnlich peinlichen Fehler? Big Laugh

Big Laugh

07.12.2014, 14:55

MC Klaus

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Egal, auch auf die Gefahr hin diesen Fehler zu machen, sieht es bei mir dann nach Zefirs Prinzip folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} IA: a_1<a_{n+1}\\<br /> 1<\frac{12}{7}\\<br /> IS: n\Rightarrow n+1\\<br /> IV: a_n<a_{n+1}\\<br /> \Rightarrow a_n < 4\cdot\frac{2+a_n}{6+a_n}\\<br /> \Leftrightarrow a_n\cdot(6+a_n)<8+4a_n\\<br /> =6a_n+a_n^2<8+4a_n\\<br /> \Leftrightarrow 0<a_n^2-2a_n-8<br /> \end{eqnarray*}$

mit pq-Formel ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} x_{1;2}=\frac22\pm\sqrt{1+8}\\<br /> =1\pm3<br /> x_1=4\wedge x_2=-2 \end{eqnarray*}$

Was bringt mir das dann genau?

07.12.2014, 16:00

Zefir

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Zitat:

Original von URL
Für jemanden, der am elementaren Schulstoff scheitert, nimmst du den Mund ganz schön voll.
Mein "Weißt du wirklich was du hier tust?" ist dem Umstand geschuldet, dass das Kleinerzeichen hier sogar richtig ist und eine Chance bestand, dass du das begründen kannst und somit vollkommen korrekt gemacht hast.
Das war eindeutig zu optimistisch. Ich bin hier raus.

Und jetzt rate mal warum ich an elementarem Schulstoff scheitere, weil meine Lehrer früher genau solche Leute waren wie du. Einfach mega entmutigend.

Ich mache mir Seitenweise Gedanken zu einer Aufgabe, nehme mir 30 Minuten Zeit nur um mal mit dem Formeleditor klarzukommen und das alles möglichst nachvollziehbar aufzuschreiben, und bete um Hilfe. Und was kommt als Antwort??

"Ohje, das kannst du nicht?" .... Das hört sich einfach mega arrogant an. Während es mir anscheinend an elementarem Schulstoff fehlt, fehlt es dir an elementaren Grundwissen über soziale Umgehensweisen.....

@ MC Klaus, schaue mir das Ganze gleich mal im Zug an, bin gerade aufm Sprung Big Laugh

Big Laugh

@ Haal, ich habe nichts dagegen wenn Leute raushängen lassen das sie mehr Ahnung haben als jemand anders (was ihr zwei ja zweifellos habt, aber eben aus dem Grund bin ich hier). Ich habe aber sehr wohl was dagegen wenn man es auf kosten dessen macht der nicht soviel Ahnung von dem Thema hat ... also wenn du klugscheissen willst, wie gesagt wäre für (fast) jede Hilfe dankbar x)

so genug offtopic jetzt... is ja schlimm smile

smile

07.12.2014, 16:19

Zefir

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mhhhh der IA : an < an+1 wäre dann doch schon um die monotonie zu beweisen oder? wollte ja mit an <2 erstmal nur beweisen das 2 eine mögliche obere schranke ist um das später verwenden zu können um die konvergenz zu beweisen.

07.12.2014, 16:36

MC Klaus

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Ja das stimmt ja, aber ich hab mich doch auch auf die Monotonie bezogen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.12.2014, 16:53

sulo

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Zitat:

Original von Zefir
Ich mache mir Seitenweise Gedanken zu einer Aufgabe, nehme mir 30 Minuten Zeit nur um mal mit dem Formeleditor klarzukommen und das alles möglichst nachvollziehbar aufzuschreiben, und bete um Hilfe. Und was kommt als Antwort??

"Ohje, das kannst du nicht?" .... Das hört sich einfach mega arrogant an. Während es mir anscheinend an elementarem Schulstoff fehlt, fehlt es dir an elementaren Grundwissen über soziale Umgehensweisen.....

URL hat nicht so geantwortet, warum verdrehst du seine Worte? verwirrt

verwirrt

Er hat geschrieben:

Zitat:

Original von URL
Du meinst also $\begin{eqnarray*} 4*\frac{2+a_{n}}{6+a_{n}} = \frac{8+a_{n}}{6+a_{n}} \end{eqnarray*}$ ? Ohje unglücklich

unglücklich

Das Distributivgesetz ist nicht so dein Freund, oder?

Einem Helfer wegen dieses Satzes einen Mangel an "elementarem Grundwissen über soziale Umgehensweisen" zu attestieren ist schon starker Tobak.

Auch deine weiteren Kommentare wie ...

Zitat:

Also hilf mir, oder lass es bleiben. Aber spar dir deine Klugscheisser-Kommentare, die nerven.

...entsprechen nicht dem Umgangston, den wir hier im Board pflegen.

Selbst wenn du nicht mit der Art und Weise einverstanden warst, wie dir von URL geholfen wurde (wobei ich seine Hilfe vollkommen in Ordnung finde), hättest du dich nicht derart im Ton vergreifen müssen.

Im Interesse des freundlichen Miteinanders hier im Board empfehle ich dir, zukünftig den Regeln der Netiquette entsprechend zu posten.

07.12.2014, 17:42

Zefir

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Okay ich hab mich im Ton vergriffen. Sehe ich ein, sorry dafür.
Nichts desto trotz waren die Antworten von URL ziemlich von oben herab also schieb mir jetzt hier nich den schwarzen peter zu. Wie du an meinem Ausgangspost siehst habe ich sehr wohl die "netikette" bewahrt und ne ganz normale Frage gestellt. Also hör mir auf mit dem moralischen Zeigefinger, für mich war das ganze eh schon erledigt.

07.12.2014, 17:45

sulo

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Offenbar hast du nichts von dem verstanden, was ich geschrieben habe.

Ich schließe den Thread, denn das führt hier nicht mehr zu irgendetwas Sinnvollem.

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