Differentialgleichungen

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Differentialgleichungen
Meine Frage:
Das Höhenwachstum einer Bambuspflanze kann durch eine kubische Funktion der Form h(t)=at³+bt²+ct+d beschrieben werden. (t: Zeit in Woche, h(t): Höhe in Metern). Die Tabelle enthält Messdaten zur Höhe h und zur Wachstumsgeschwindigkeit h'.

Tabelle:
t = Zeit in Woche 0|4
h = Höhe in m 0|2
h'= Wachstumsgeschwindigkeit in m/Woche 0|0,75

a) Wie lautet die Gleichung von h? Skiziieren Sie den Graphen von h für 0<(oder gleich) t <(oder gleich) 8.
b) Wann erreicht die Pflanze ihre maximale Höhe?
c) Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal?
Kontrollergebnis: h(t) = 1/64(-t³+12t²)



Meine Ideen:
Ich war längere Zeit krank und wir müssen diese Aufgaben lösen und kriegen dafür eine Note -.-
Wäre nett ,wenn jmd. Helfen könnte .
Ich hab gar keine Ahnung was man run muss.
Abgabe ist morgen unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard Willkommen

Die gesuchte kubische Funktion enthält 4 Unbekannte a,b,c und d.
Ziel ist es zunächst, durch ein entsprechendes Gleichungssystem, an die passenden Wert zu a,b,c und d zu gelangen.

Nun hast du in der Tabelle 2 Werte zu h und 2 Werte zu h' gegeben.
Daraus kann man dann 4 Gleichungen basteln.
Da Angaben von h' im Spiel sind, solltst du auch h' erstmal bilden, also den Term für h ableiten.

Wenn nach t=0 Wochen die Höhe h der Pflanze 0 m beträgt, gilt schon mal h(0)=0.
Ebenso ist die Wachstumsgeschwindigkeit in t=0 (also am Anfang) auch h'=0, weshalb h'(0)=0 gilt.
Weitere 2 Gleichungen gibt es für die entsprechenden Angaben für t=2.
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst ja diesen Thread schon gefunden zu haben, oder sehe ich das verkehrt?

Modellierungsprozess

Anders kann ich mir die genau gleiche Notation samt Rechtschreibfehler ("Skiziieren") sonst nicht erklären.

Ich bin mir auch gerade nicht sicher, ob bei einer Aufgabe die benotet wird, Hilfe hier erlaubt ist. Das soll ein Moderator entscheiden.

edit: Sorry Björn. Vorschau vergessen.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

DAnke !
Wieso 4 Gleichungen ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab es soweit verstanden, dass man 4 Gleichungen braucht ,da man a,b,c,d sucht...
Aber wie kommt man auf die 4 Gleichungen?.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Problem ist nur,dass ich es dort nicht verstanden habe.
Ich will diese Aufgabe ganz verstehen.
-Von Anfang bis Ende-
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

2 Gleichungen habe ich dir bereits genannt.
h(0)=0 bedeutet und diese Gleichung kann man z.B. schon direkt nach d auflösen.

Und jetzt ein paar Aufträge für dich:

1) Was kommt oben für d raus ?
2) Bilde bitte allgemein die 1. Ableitung zu h(t)=at³+bt²+ct+d, wie lautet sie ?
3) Welche Gleichung entsteht durch h'(0)=0 ?
4) Welche beiden anderen Gleichungen sind durch die beiden für t=4 gegeben Werte aufzustellen ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es noch nicht ganz verstanden.
Was soll ich jetzt bei drittens machen ?
die erste ableitung von h(0)=0 bilden ???
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

d=0 stimmt schon mal. Freude

Die 1. Ableitung ist noch nicht ganz korrekt, denn ct abgeleitet ist c.
Sie lautet also h'(t)=3at²+2bt+c.

Hast du denn verstanden was h'(0)=0 bedeutet bzw wie ich darauf gekommen bin ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es jetzt so verstanden.
Da die Höhe am Anfang 0 ist, ist auch 0 Zeit vergangen und somit beträgt die Wachstumgeschwindigkeit auch 0.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Wachstumsgeschwindikeit nach t=0 Wochen auch 0 Meter pro Woche beträgt, ist in der Tabelle eben so vorgegeben.
h'(0) steht eben stellvertretend für die Wachtsumsgeschwindikeit für t=0 und da diese laut Tabelle ebenso 0 beträgt, gilt h'(0)=0.
h'(0) gibt dir dann eben den Auftrag ----> Setze t=0 in die 1. Ableitung von h ein
h'(0)=0 bedeutet, dass du auf die rechte Seite der Gleichung 0 schreiben musst.
Damit entsteht dann eben eine weitere Gleichung.

Wie lautet diese und nach was kannst du sie direkt auflösen ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

So?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. Freude

Nun dasselbe Spielchen nochmal für die beiden gegebenen Werte für h und h' bei t=4.

Welche Gleichungen entstehen dann ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Eine frage bevor ich michr rechnen hinsetze.
wir haben ja jetzt d=0 und c=0
Von wo weiß ich welche zahlen zu a und b gehören,also ich meine jetzt ob die 2 für die Berechnung von a zustandig oder die 0,75?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2 und 0,75 sind nur die Werte, die auf der rechten Seite der entsprechenden Gleichungen stehen.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt verwirrt....
Soll ich jetzt die Gleichung a x 0^3 + b ..........=2 nehmen und dann wieder nach d auflösen ??
Oder muss ich in die h(t)=a x t ^3 ......... für t=4....
O.o
tut mir leid ,dass ich schwer von begriff bin
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

t=4 ist ja gegeben, ich hatte mich oben verschrieben (falls du das deswegen genommen hast).
In der Tabelle steht ja t=4.
Also dasselbe, was du super gemacht hast, aber mit h(4) und h'(4).
h(4) musst du dann mit 2 gleichsetzen und h'(4) mit 0,75.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dann für t=4 einsetzen bei h(4)??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt das Gleichsetzungsverfahren ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, deine Gleichungen stimmen.

Ja jetzt dieses Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl lösen.
Additions- oder Einsetzungsverfahren würden sich anbieten.
Gleichsetzungsverfahren kannst du auch machen.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Jej geschafft Big Laugh
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Lautet die gleichung :
h(t)= -1/64 x t^3 + 3/16t^2 + 0 x t + 0 ???
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann doch 0 x t + 0 weglassen oder ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. smile

Nur die Stellen, wo du 0 einsetzt, kannst du weglassen, so dass du nur noch hast.

Lass dir aber noch vor Augen führen, dass du mittels Additionsverfahren (-2*II+I) sofort zu -32a=0,5 und damit direkt zu a=-1/64 kommst und durch einsetzen in I erhältst du dann auch schnell b=3/16.
Nur mal als Alternative. Augenzwinkern

Wie man die Skizze erstellt und wie man den Hochpunkt für b) berechnet ist klar oder gibt es dazu noch Fragen ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das mit der Skizze mal versucht und ich hab das jetzt.....
Muss die Gerade durch den Ursprung gehen ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Bei b muss ich jetzt einfach die Gleichung h(t) in die erste ableitung bringen , dann die nullstellen usw. Oder??
Aber uch versteh aufgabe c nicht ganz...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gerade ist das nicht (kubische Funktion) Augenzwinkern
Die y-Werte für t=0 und t=4 kannst du ja direkt eintragen.
Von mir aus dann noch die Werte für t=2,t=6 und t=8.
Das sollte dann eigentlich genügen, um den Verlauf des Graphen der Funktion darzustellen.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn die x werte für 0 und 4 ???
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Steht in der Tabelle.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Schon bis t=8 zeichnen, so wie es in der Aufgabe steht.

makl Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön ,dass du mir gefollen hast smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gefollen ? Big Laugh

Weißt du, was du bei b) und c) machen musst ?
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Bei b ja .
Aber bei c bin ich ratlos Big Laugh
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei c) musst du dasselbe machen wie bei b) nur nicht der Hochpunkt von h sondern der Hochpunkt von h'.
Oder mit anderen Worten der Wendepunkt von h.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Aso ok.
Dankeschön ,dass du mir -jetzt aber richtig- GEHOLFEN hast. Big Laugh
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen, makl. Wink
Zur Kontrolle kannst du deine Ergebnisse für b) und c) gerne noch posten.
makl Auf diesen Beitrag antworten »

Danke , aber ich bin für jetzt erstmal fertig mit mathe und hab auch keine lust mehr weiterzumachen...
ich wollte es morgen früh machen Big Laugh
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann einen schönen Abend noch, viel Erfolg weiterhin und vielleicht bis demnächst hier im Forum. smile
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