Extremwertaufgabe & Trigonometrie

08.12.2014, 04:34

MathePauker

Extremwertaufgabe & Trigonometrie

Ich sitze gerade relativ verzweifelt an einer Extremwertaufgabe bei der trigonometrische Kenntnisse vorausgesetzt werden (über welche ich eigtl auch verfüge, aber momentan nicht wirklich im Themenkomplex stecke).

Aufgabe:
(siehe Anhan)

Die fehlenden Seitenlängen werden hier mit einem bestimmen Verfahren ermittelt dessen ich nicht mehr wirklich mächtig bin. Wie lautet die Regel bzw diese Verfahrenstechnik noch gleich?! Z.B.:

$\begin{eqnarray*} h : R = EC : r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h : R = \sqrt{(h-r)^2-r^2}:r \end{eqnarray*}$

Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir das nochmal in's Gedächtnis rufen könntet

08.12.2014, 08:36

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe & Trigonometrie

Zitat:

Original von MathePauker
Die fehlenden Seitenlängen werden hier mit einem bestimmen Verfahren ermittelt dessen ich nicht mehr wirklich mächtig bin. Wie lautet die Regel bzw diese Verfahrenstechnik noch gleich?! Z.B.:

$\begin{eqnarray*} h : R = EC : r \end{eqnarray*}$

Der diesbezügliche Hinweis steht doch im Text des Anhangs: die Dreiecke (CME) und (CHB) sind ähnlich, haben also gleiche Winkel. Und in ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis sich entsprechender Strecken gleich.

10.12.2014, 04:45

MathePauker

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RE: Extremwertaufgabe & Trigonometrie
Ja jetzt hab ich's auch wieder verstanden nach deinem kleinen Anstoß... Danke dafür erst einmal!
Weiter jedoch:

wieso heißt es am Ende

$\begin{eqnarray*} R=\frac{h\cdot r}{\sqrt{(h-r)^2-r^2)}} \end{eqnarray*}$

?

Meiner Rechnung nach müsste es lauten:

$\begin{eqnarray*} R=\frac{\sqrt{(h-r)^2-(r)^2)}}{r} \cdot h \end{eqnarray*}$

Wie ich vorgegangen bin:

$\begin{eqnarray*} h:R=EC:r \end{eqnarray*}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nr.:
$\begin{eqnarray*} (CE)^2+r^2=(h-r)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (CE)^2=(h-r)^2-(r)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} CE=\sqrt{(h-r)^2-(r)^2} \end{eqnarray*}$
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

weiter gehts:

$\begin{eqnarray*} h:R=\sqrt{(h-r)^2-(r)^2}:r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\frac{\sqrt{(h-r)^2-(r)^2}}{r}\cdot h \end{eqnarray*}$

Wo liegt in meiner Rechnung der Fehler?

10.12.2014, 08:55

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe & Trigonometrie

Zitat:

Original von MathePauker
weiter gehts:

$\begin{eqnarray*} h:R=\sqrt{(h-r)^2-(r)^2}:r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\frac{\sqrt{(h-r)^2-(r)^2}}{r}\cdot h \end{eqnarray*}$

Wo liegt in meiner Rechnung der Fehler?

Wenn man mal die obere Gleichung so schreibt:

$\begin{eqnarray*} \frac h R = \frac{\sqrt{(h-r)^2 - (r)^2}}{r} \end{eqnarray*}$
dann sollte dir dein Fehler auffallen. smile

11.12.2014, 02:51

MathePauker

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RE: Extremwertaufgabe & Trigonometrie
Also gut: ist vlt ein wahnsinnig umständlicher Weg, aber nur so verstehe ich es:

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{1}:\frac{R}{1}=\frac{\sqrt{(h-r)^2-r^2}}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{1}\cdot \frac{1}{R}=\frac{\sqrt{(h-r)^2-r^2}}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R}=\frac{\sqrt{(h-r)^2-r^2}}{r}\cdot \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R}=\frac{\sqrt{(h-r)^2-r^2}}{r\cdot h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\frac{r\cdot h}{\sqrt{(h-r)^2-r^2}} \end{eqnarray*}$

Freude

11.12.2014, 19:29

mYthos

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In der Tat ist der Weg etwas umständlich, aber das Resultat stimmt.
Tipp:
Multipliziere die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner $\begin{eqnarray*} Rr \end{eqnarray*}$
Danach dividiere durch die Wurzel und du bist fertig.

mY+

18.12.2014, 04:44

MathePauker

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Ich muss hier unbedingt weiter ansetzen da ich den Lösungsweg im Buchüberhaupt nicht nachvollziehen kann:

ich setze nun in die Flächeninhaltsgleichung für

$\begin{eqnarray*} R=\frac{ hr }{ \sqrt{ (h-r)^2-r^2 } } \end{eqnarray*}$

in die Flächeninhaltsgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{ hr }{ \sqrt{(h-r)^2-r^2} }*h \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{ h^2r }{ \sqrt{(h-r)^2-r^2} } \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} A^2=\frac{h^4*r^2}{\sqrt{h^2-2hr}}=\frac{h^3*r^2}{h-2r} \end{eqnarray*}$

Dann lautet es im Buch:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Wenn $\begin{eqnarray*} (A^2)' (h_{E})=0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} (A)' (h_{E})=0 \end{eqnarray*}$ . Wir können daher $\begin{eqnarray*} (A^2) \end{eqnarray*}$ nach h differenzieren und gleich Null setzen:

$\begin{eqnarray*} (A^2)'(h)=\frac{ 4h^3r^2*(h^2-2hr)-(2h-2r)h^4r^2 }{(h^2-2hr)^2} \end{eqnarray*}$

Wir setzen den Zähler gleich NUll:

$\begin{eqnarray*} 2h^5_{E}-6h^4_{E}r^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{E}-3r=0 \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Aber wieso soll denn bitte $\begin{eqnarray*} (A^2)' (h_{E})=0 \end{eqnarray*}$ gelten? Das ist mir einfach nicht klar geworden in dieser Betrachtung... Und woher kommt $\begin{eqnarray*} 2h^5_{E}-6h^4_{E}r^3=0 \end{eqnarray*}$ ?

18.12.2014, 08:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von MathePauker
daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} A^2=\frac{h^4*r^2}{\sqrt{h^2-2hr}}=\frac{h^3*r^2}{h-2r} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} A^2 = \frac{h^4*r^2}{h^2-2hr} = \frac{h^3*r^2}{h-2r} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MathePauker
Wenn $\begin{eqnarray*} (A^2)' (h_{E})=0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} (A)' (h_{E})=0 \end{eqnarray*}$ . Wir können daher $\begin{eqnarray*} (A^2) \end{eqnarray*}$ nach h differenzieren und gleich Null setzen:

$\begin{eqnarray*} (A^2)'(h)=\frac{ 4h^3r^2*(h^2-2hr)-(2h-2r)h^4r^2 }{(h^2-2hr)^2} \end{eqnarray*}$

Warum dann hier $\begin{eqnarray*} A^2(h) = \frac{h^4*r^2}{h^2-2hr} \end{eqnarray*}$ und nicht der einfachere Ausdruck $\begin{eqnarray*} A^2(h) = \frac{h^3*r^2}{h-2r} \end{eqnarray*}$ abgeleitet wurde, bleibt dann ein Rätsel.

Zitat:

Original von MathePauker
Aber wieso soll denn bitte $\begin{eqnarray*} (A^2)' (h_{E})=0 \end{eqnarray*}$ gelten? Das ist mir einfach nicht klar geworden in dieser Betrachtung.

Wenn A positiv ist, ist leicht einzusehen, daß A(h) und A²(h) an denselben Stellen relative Minima bzw. Maxima haben.

Zitat:

Original von MathePauker
Und woher kommt $\begin{eqnarray*} 2h^5_{E}-6h^4_{E}r^3=0 \end{eqnarray*}$ ?

Das steht doch im Text:

Zitat:

Original von MathePauker
Wir setzen den Zähler gleich NUll:

$\begin{eqnarray*} 2h^5_{E}-6h^4_{E}r^3=0 \end{eqnarray*}$

Man will doch wissen, wann ein Bruch (nämlich A²(h)) Null ist. Und ein Bruch ist nur dann Null, wenn der Zähler Null ist. smile

18.12.2014, 14:37

Hausmann

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OT

Mich beschleicht das ungute Gefühl, daß man ohne die kindergartenmäßige Festlegung von Skizze, Bezeichnungen, Rechenweg und sogar Funktionstyp die Aufgabe längst gelöst hätte - mit oder ohne Unterstützung. Statt eigene Ideen zu fördern soll man darüber nachgrübeln, was sich irgendwer vielleicht gedacht oder auch nicht haben könnte. Wozu dann noch Mathematik-Unterricht?

Wie wäre es mit einem Reset: "Man bestimme das gleichschenklige Dreieck minimaler Fläche, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen." Punkt.

18.12.2014, 17:53

opi

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Zitat:

Original von Hausmann
Wie wäre es mit einem Reset: "Man bestimme das gleichschenklige Dreieck minimaler Fläche, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen." Punkt.

Mit diesem Reset hast Du, befreit von Skizze, Bezeichnungen und der Fragestellung, die Aufgabe in "falsch", "ganz anders" bzw. "unsinnig" übersetzt. unglücklich

Das die Eckpunkte eines Dreiecks auf einem Kreis liegen, ist keine Besonderheit. Und die von Dir beschiebene Fläche ist nicht sehr groß. Augenzwinkern

18.12.2014, 21:23

Hausmann

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Stimmt, opi, ich habe vor lauter Ärger Inkreis und Umkreis verwechselt, danke für die Korrektur!

Das ändert leider nichts an diesem Aufgabenstil, wozu ich (sind noch im OT-Modus?) gern aktuell illustrieren möchte, wohin der führt: "Wir betrachten das System Erde-Mond [...] aber ich habe weder Massen noch Radien gegeben und deswegen frage ich mich, ob ich das überhaupt machen muss." So sieht's aus.

mfG!

18.12.2014, 21:34

Dopap

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OT
@Hausmann:
ich frage mich manchmal, warum du Dinge aus dem Physikerboard neuerdings hier verklausulierst ansprichst. verwirrt

Ist es dir dort eventuell langweilig ?

22.12.2014, 00:26

MathePauker

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Entschuldigt, ich war die letzten Tage nicht zuhause und kann erst jetzt wieder hier anknüpfen: also back to topic!

@klarsoweit: ich rechne wie verrückt alles durch aber komme beim besten WIllen nicht auf den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} 2_{E}^{5}-6h_{E}^{4}r^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{E}-3r=0 \end{eqnarray*}$

??

Ich habe versucht über beide Ansätze auf das Ergebnis zu kommen (einmal mit gekürztem und ungekürztem Bruch):

$\begin{eqnarray*} [(4h^3\cdot r^2)\cdot (h^2-2hr)]-[(h^4\cdot r^2)\cdot (2h-2r)]=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2h^4r^2(2-6r-h)=0 \end{eqnarray*}$

weiter komme ich aber nicht? Ich bin also noch meilenweit entfernt von der oben im Buch erwähnten Lösung... Wo liegt mein Fehler?

EDIT:
hatte nur einen kleinen Leichtsinnsfehler in meiner Rechnung.... Sorry!

24.12.2014, 01:16

MathePauker

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Nun muss ich nochmal den Zeigefinger heben...

Nun soll die zweite Ableitung von $\begin{eqnarray*} A^2(h)=\frac{h^4r^2}{h^2-2hr} \end{eqnarray*}$ erstellt werden.
Die erste da hieß:

$\begin{eqnarray*} A^2(h)'=\frac{4h^3r^2\cdot (h^2-2hr)-(2h-2r)h^4r^2}{(h^2-2hr)^2} \end{eqnarray*}$

Laut Buch sollte die zweite wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} A^2(h)''=\frac{2h^6r^2-12h^5r^3+24h^4r^4}{(h^2-2hr)^3} \end{eqnarray*}$

Es ist mir aber ein absolutes Rätsel wie man auf diese Aussage kommt? Ich komme nur auf einen ellenlangen Zähler:

$\begin{eqnarray*} A^2(h)''=\frac{12h^6r^2-8h^6r^2-48h^5r^2+16h^4r^4-4h^8r^2+32h^7r^2-32h^8r^4-8h^7r^3-32h^6r^3+16h^5r^5+32h^5r^3+32h^6r^4}{(h^2-2hr)^3} \end{eqnarray*}$

Wie kann das sein? Habe es ein paar mal durchgerechnet, aber komme einfach nicht dahinter wie die Buchlösung auf so einen schönen knappen Zähler kommt?!

24.12.2014, 02:07

Bjoern1982

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Wo dein Fehler nun genau passiert, kann man ohne genauen Rechenweg nicht sagen.
Ich hoffe, dass du die 1. Ableitung zunächst vereinfacht und erst dann mit der 2. Ableitung losgelegt hast.
Das könnte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} A^2(h)'=\frac{4h^3r^2\cdot (h^2-2hr)-(2h-2r)h^4r^2}{(h^2-2hr)^2}=\frac{2r^2h^5-6r^3h^4}{(h^2-2hr)^2} \end{eqnarray*}$

Und noch ein Hinweis: Um die Ableitung des Nennerterms, also v' zu bilden, empfiehlt es sich die Kettenregel zu benutzen, denn nur dann kann man nachher im Zähler (h²-2hr) ausklammern.

Alternativ (und wahrscheinlich viel einfacher) gäbe es da übrigens auch noch das so genannte Vorzeichenwechselkriterium der 1. Ableitung. Damit benötigt man die 2. Ableitung überhaupt nicht, denn ehe man diese mühsam gebildet hat, ist man mit dem anderen Kriterium schon längst fertig.

24.12.2014, 02:29

MathePauker

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Danke für deine rasche Antowrt Bjoern!

Wenn ich die erste Ableitung aber nocheinmal vereinfache, dann kann ich aber nicht den im Prozess der Bildung der zweiten Ableitung auftauchenden Nenner vierter Potenz auf einen Nenner dritter Potenz kürzen, da ja im Zähler kein Faktor (h^2-2hr) mehr auftaucht durchs einfachen? Laut Buchlösung ist der Nenner aber ja auf (h^2-2hr)^3 zu bringen.

Für die Ermittlung von v' habe ich ebenfalls die Kettenregel angewandt... Kommst du selbst denn auf die Lösung?

24.12.2014, 02:35

Bjoern1982

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Zitat:

da ja im Zähler kein Faktor (h^2-2hr) mehr auftaucht durchs einfachen?

Dazu schrieb ich ja gerade:

Zitat:

Um die Ableitung des Nennerterms, also v' zu bilden, empfiehlt es sich die Kettenregel zu benutzen, denn nur dann kann man nachher im Zähler (h²-2hr) ausklammern.

Dadurch kann man dann halt kürzen.

04.01.2015, 16:21

MathePauker

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Ein frohes neues Jahr wünsche ich! Gestärkt aus der Urlaubsphase zurück und nun wieder frisch an's Werk:

@Bjoern1982:
ich kann deinen Schritt absolut nachvollziehen. Sprich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2r^2h^5-6r^3h^4}{(h^2-hr)^2} \end{eqnarray*}$

Aber geanau da hängt die Buchlösung ja wieder nach. Die meint nämlich es müsse lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2r^2h^5-6r^2h^4}{(h^2-hr)^2} \end{eqnarray*}$

Kann ja nicht sein dass die komplette Lösung falsch ist?! Ich finde keinen Fehler bei mir und komme trotzdem nicht auf den vorgegebenen Ausdruck...

Ich häng die Buchlösung im Kompletten nochmal an:

04.01.2015, 20:30

Bjoern1982

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Wie man leicht nachrechnen kann, ist dieses -6r²h^4 in der Lösung falsch.

Zitat:

Kann ja nicht sein dass die komplette Lösung falsch ist?

Ich weiß, dass es immer sehr verlockend ist, sich ganz fest an irgendwelche Komplettlösungen zu klammern.
Wie du siehst, ist das vielleicht nicht immer so empfehlenswert und man sollte mehr seinen eigenen Fähigkeiten vertrauen. Augenzwinkern

05.01.2015, 18:57

MathePauker

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Ja danke für die Bestätigung Bjoern!
Wenn du Zeit und Lust hast, kannst du dir ja mein Ergebnis mal ansehen:

05.01.2015, 19:19

MathePauker

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Alllerdings merke ich gerade, dass ich auf ein Maximum statt auf ein Minimum käme wenn ich bei der zweiten Ableitung mein hE=3r einsetze... Damit wäre aber die Aufgabenstellung nicht erfüllt (Dreieck mit dem kleinsten Flächeninhalt)?

06.01.2015, 09:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von MathePauker
Wenn du Zeit und Lust hast, kannst du dir ja mein Ergebnis mal ansehen:

Es ist $\begin{eqnarray*} u = 2h^5r^2 - 6h^4r^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MathePauker
@klarsoweit: ich rechne wie verrückt alles durch aber komme beim besten WIllen nicht auf den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} 2_{E}^{5}-6h_{E}^{4}r^3=0 \end{eqnarray*}$

Die Entstehung der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2h_E^5 - 6h_E^4r^3 = 0 \end{eqnarray*}$ sollte mittlerweile geklärt sein.

06.01.2015, 09:38

HAL 9000

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Anmerkung

Zitat:

Original von MathePauker
Aber geanau da hängt die Buchlösung ja wieder nach. Die meint nämlich es müsse lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2r^2h^5-6r^2h^4}{(h^2-hr)^2} \end{eqnarray*}$

Wenn man in physikalischen Einheiten denkt, ist eigentlich sofort klar, dass ein Term wie $\begin{align*} 2r^2h^5-6r^2h^4 \end{align*}$ falsch sein muss (sofern nicht vorher irgendwelche Längen als dimensionslose Zahlen in die Formel eingeflossen sind, was hier nicht der Fall ist):

Das ergäbe mit SI-Längeneinheit "Meter (m)" eine Differenz von $\begin{align*} m^7 \end{align*}$ -Werten und $\begin{align*} m^6 \end{align*}$ -Werten, was nicht sein darf. unglücklich

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