Parametrisierung einer Hohlkugel

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Arnulf123 Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung einer Hohlkugel
Guten Tag,

ich hänge bei folgender Aufgabe:

Berechnen Sie für folgenden Körper und Vektorfeld jeweils den Fluss (von innen nach außen) des Vektorfeldes durch die Oberfläche von unter Verwendung des Gaußschen Integralsatzes.

Der Körper sei eine Hohlkugel um den Ursprung mit Innenradius und Außenradius .

Stimmt folgendes Parametrisierung der Hohlkugel (mein Ansatz): mit und
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RE: Parametrisierung einer Hohlkugel
In deinem Ansatz kommt nirgendwo der Radius vor.
Für R=1 müsste immer sein. Ist das erfüllt?
Informiere dich über Kugelkoordinaten.
Arnulf123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mit Radius gearbeitet, mein Gedankengang war, von der ganzen Kugel mit Radius 2 die "Innere Kugel" mit Radius 1 abzuziehen um somit dann die Hohlkugel zu erhalten. Oder darf man das so nicht machen?

Wie man eine "normale" Kugel parametrisiert ist mir durchaus bekannt!
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Mir ist nicht klar, wie du von einer Kugel mit Radius 2 eine Kugel mit Radius 1 abziehst. verwirrt
Kannst du das bitte erklären?

Ich wäre auf die Parametrisierung einer normalen Kugel gekommen, nur mit der Einschränkung
Arnulf123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja ich habe gemerkt, dass meine Idee unsinnig war und hab mir mal die Kugelkoordinaten angeschaut jetzt komme ich auf folgende Parametrisierung: mit

Kann das stimmen?
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Ja. Na dann, auf gaußt's Augenzwinkern
 
 
Arnulf123 Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun komm ich mit dem Divergenzsatz von Gauß noch nicht absolut sicher klar.

Mein Ansatz für das Integral wäre:





Meine Frage wäre noch, ob die Reihenfolge wie man integriert eine Rolle spielt oder nicht? Ich würde spontan sagen nein.

Eine Verständisfrage wäre noch, wozu braucht man überhaupt den Satz von Gauß, man kommt doch zu dem gleichen Ergebnis wenn man also das Flächenintegral verwendet.

Genau das sagt der Satz aus, aber wozu geht man den Weg über die Divergenz?


Latex funktioniert nicht, obwohl es mit dem Formeleditor richtig angezeigt wurde: \int_0^\pi \! \int_0^{2\pi} \! \int_1^2 \! r^4sin(\alpha)(sin^2(\alpha)cos^2(\beta)+sin^2(\alpha)sin^2(\beta)+cos^2(\a
lpha)) \, d\alpha \, d\beta \, dr
Arnulf123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gesehen man kann das Integral noch stark vereinfachen:

Stimmt das Ergebnis?

Darf man den Satz von Gauß immer anwenden?
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Die linke Seite ist richtig, der Zahlenwert rechts ist falsch. Vermutlich hast du statt gerechnet.
Der Satz von Gauß stellt sowohl Anforderung an das Vektorfeld als auch an das Gebiet. Immer darf man ihn also nicht anwenden, in der Praxis ist die Situation meist so gutartig, dass man ihn anwenden kann.
Du kannst zum Vergleich mal das Oberflächenintegral direkt berechnen und den Aufwand vergleichen.
Arnulf123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme wieder auf das falsche Ergebnis, und finde meinen Fehler nicht, stehe ich wohl auf dem Schlauch?




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Aaah, jetzt sehe ich es. Du verwendest diese - aus meiner Sicht unsäglichen und nur Verwirrung stiftenden - gemischten Zahlen.
Also ist bei dir wärend das in meiner Welt das Produkt ist.
ist richtig.
Arnulf123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sorry, mein Taschenrechner hat komischerweise nur den gemischten Bruch angegeben auch wenn ich auf die Taste gedrückt habe hat er mir nur die Dezimalzahl angezeigt, scheinbar wegen dem Vielfachen von

Also ist mein Endergebnis auch


Danke für die Unterstützung!!!
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