Gleichmächtigkeit von Mengen

08.12.2014, 20:47	Seagate	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtigkeit von Mengen Meine Frage: Zeigen Sie, dass R gleichmächtig wie R+ ist Zeigen sie, dass {(x,y) \| x,y e R und x^2 + y^2 =1} und {(x,y) \| x,y eR und d((x,y),(2,1)) <=3} gleichmächtig sind. Dabei stehen (x,y) für den Punkt in der Ebene mit den Koordinaten x und y und d(X,Y) für den Abstand zwischen den Punkten X und Y in der Ebene. Meine Ideen: Zum ersten weiß ich das diese 2 Mengen gleichmächtig sind, aber ich weiß nicht wie ich das begründen soll. Ich suche schon ewigkeiten im Internet nach einer Lösung komme aber nicht auf einen grünen Zweig. Bzw habe ich keine Ahnung wie diese bijektive Funktion aussehen soll damit ich alle R erfasse. und bei nummer 2 habe ich nicht einmal eine Ahnung wie ich das angehen soll. Vermutlich sind sie gleichmächtig weil sich beide Mengen im Bereich der R Zahlen abspielen. Aber wie soll ich das vernümftig begründen?
08.12.2014, 21:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmächtigkeit von Mengen Du kennst doch sicher einige elementare Funktionen. Welche davon hast für den ersten Teil angeschaut?
08.12.2014, 21:30	Seagate	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmächtigkeit von Mengen eine elementarfunktion die mir im zuge von bijektivität einfällt wäre eine Exponentialfunktion zb. e^x das problem bei dieser funktion ist der wert 0. e^x wird nie den wert 0 ergeben und demensprechend fehlt ein wert aus den R+ zahlen.
08.12.2014, 21:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmächtigkeit von Mengen Oh, ich ging von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}_+=\{x\in\mathbb{R}\ \|\ x>0\} \end{eqnarray}$ aus.
08.12.2014, 22:20	Seagate	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab R+ jetzt einfach ohne 0 angeschrieben da es nicht näher definiert wurde. Hab aber den Bereich für den Beweis unten explizit angeführt. Danke schon mal hierfür. Zu zweitens hätte ich nun eine Idee wenn ich davon ausgehe das x^2+y^2 =1 die Formel für den Einheitskreis ist und auf einem Kreis eine unendliche anzahl von Punkten sind hab ich auch eine unendliche anzahl von Verbindungsgeraden. Leider komm ich mit der Bedingung der zweiten Menge sprich <=3 nicht um den gesamten Einheitskreis herum das bedeutet mir fehlt eine gewisse anzahl von Verbindungen da diese herausfallen. Die Frage stellt sich mir dann ob sie dennoch gleichmächtig sind obwohl auf dem Boden den ich nicht erreichen kann auch noch unendlich viele Punkte sind. Ich hoffe das war halbwegs verständlich.
08.12.2014, 22:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \{(x,y) \| x,y \in \mathbb{R}, x^2 + y^2 =1\} \end{align}$ ist der Einheitskreis (oder die Einheitskreislinie) $\begin{align} \{(x,y) \| x,y \in\mathbb{R}, d((x,y),(2,1)) \leq 3\} \end{align}$ ist die Kreisscheibe mit Mittelpunkt (2,1) und Radius 3
Anzeige

10.12.2014, 12:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip sollte das mit einem Peano-Weg machbar sein ( siehe z.B. hier : http://www.math.kit.edu/iag3/lehre/top2007w/media/peano.pdf ). Dann brauchst du nur noch den Einheitskreis auf ein Intervall abbilden (ganz leicht) und das Quadrat auf die Einheitskreisscheibe (machbar) und diesen auf die gewünschten Kreisscheibe verschieben (ganz leicht).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »