Gegenbeispiel Kettenregel für Grenzwerte bei fehlenden Bedingungen

09.12.2014, 09:44	Samuel_Haller	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel Kettenregel für Grenzwerte bei fehlenden Bedingungen Meine Frage: Hallo Matheboard! Sorry, dass ich hier gleich mit einer Frage auftauche, aber daran hänge ich gerade fest und komme nicht weiter, und hoffe, dass jemand von euch mir da ein bisschen Hilfestellung leisten könnte, wäre wirklich super Zu zeigen ist, dass für zwei Abbildungen f und g aus den reellen Zahlen (nicht notwendigerweise eindimensional) und i und j Häufungspunkte der jeweiligen Definitionsmengen für f und g, mit der Existenz der Limites $\begin{eqnarray} \lim_{x \to i} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{y \to j} g(y) \end{eqnarray}$ und der Bedingung $\begin{eqnarray} \lim_{x \to i} f(x) = j \end{eqnarray}$ es normalerweise falsch ist, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to i} (g°f)(x) \end{eqnarray}$ existiert, und die Grenzbezeichnung $\begin{eqnarray} \lim_{x \to i} (g°f)(x) = \lim_{y \to j} g(y) \end{eqnarray}$ gilt, wenn weder $\begin{eqnarray} \lim_{y \to j} g(y) = g(j) \end{eqnarray}$ noch \|x-i\| < v mit v > 0 gilt. Meine Ideen: Ich dachte mir, dass man dies mit einem Gegenbeispiel zeigen könnte, jedoch finde ich keine Funktionen, die alle Bedingungen erfüllen, und gleichzeitig die Grenzwertkettenregel nicht erfüllen. Der Sachverhalt an sich ist ja recht klar durch das Problem mit dem $\begin{eqnarray} \lim_{y \to j]} g(y) \neq g(j) \end{eqnarray}$ und der daraus zwingend resultierenden Unstetigkeit von g(y), allerdings habe ich ein Problem damit, dass die Limites an sich existieren müssen, denn wenn ich z.B. eine Stufenfunktion benutze, dann ist durch links- oder rechtsseitige Stetigkeit zwar der Punkt ein Häufungspunkt der Definitionsmenge, allerdings darf ich ja nicht sagen, dass z.B. linksseitige Stetigkeit gleich "normaler" Stetigkeit ist. Ich hoffe, ihr könnt mir da ein wenig weiterhelfen, oder mit dem Zaunpfahl winken, denn ich bin mir ziemlich sicher, dass ich irgendwo eine Information außer Acht gelassen habe, die mir helfen könnte, aber ich komme einfach nicht darauf.
09.12.2014, 10:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel Kettenregel für Grenzwerte bei fehlenden Bedingungen Ich erkenne nicht so ganz, was du jetzt eigentlich zeigen sollst Hast du mal mit konstantem f probiert?
09.12.2014, 11:11	Samuel_Haller	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! Ich soll zeigen, dass die Kettenregel für Grenzwerte im Allgemeinen nicht gilt, wenn die beiden Bedingungen vor "meinen Ideen" nicht gelten. Eine konstante Funktion f würde in diesem Fall aber genau die nicht allgemein gültige Aussage erfüllen, denn es ist ja dann f(x) = j und der Limes für y -> j von g(y) ist nach Aufgabenstellung definiert, wobei dann dieser genau g(j) ist, und somit wäre die Aussage erfüllt... Ich soll quasi ein Gegenbeispiel finden, allerdings habe ich schon mit allen möglichen Funktionen herumprobiert, und finde einfach keine, die die Aussage bezüglich dem Grenzwert der Verkettung von f und g nicht erfüllt
09.12.2014, 11:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehe ich richtig, dass du zeigen willst, dass $\begin{eqnarray} \lim_{y \to j } g(y) = \lim_{x \to i} g( f(x)) \end{eqnarray}$ im Allgemeinen falsch ist, falls wir $\begin{eqnarray} \lim_{x \to i} f(x) \neq j \end{eqnarray}$ haben? Leider hast du es oben unsauber formuliert.
09.12.2014, 11:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
warum muss denn $\begin{eqnarray} \lim_{y\to j} g(y) = g(j) \end{eqnarray}$ sein? Das wäre doch genau die Stetigkeit von g in j, die aber nicht gegeben sein muss. Im Zweifel kannst du doch ein stetiges g an der Stelle j einfach umdefinieren.
09.12.2014, 12:38	Samuel_Haller	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL: also im Sinne einer zusammengesetzten Funktion? Stimmt! Daran hatte ich gar nicht gedacht, das würde dann auch die Unstetigkeit erklären! Ich bin ein Idiot Genau die Gleichheit muss ja gelten, das muss ich zeigen. Es sind ja i und j Häufungspunkte (d.h. aus dem inneren der Definitionsbereiche) aber für alle in j unstetigen g(x) ist es mir jetzt klar, dank URL Ich hatte stillschweigend angenommen, dass g(x) ebenfalls stetig sein müsste in j, und dabei außer Acht gelassen, dass ich j ja einfach definieren darf, und dann alles Sinn ergibt Vielen Dank! Das war sehr nett von euch, dass ihr euch die Zeit genommen habt, mir aus meinem Denkloch zu helfen. Danke nochmals!
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09.12.2014, 12:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen Interessant ist vielleicht noch folgendes: Wenn $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ in einer Umgebung von i definiert ist und dort durchweg $\begin{eqnarray} f(x)\neq j \end{eqnarray}$ gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{x\to i}g(f(x))=\lim_{y\to j}g(y) \end{eqnarray}$ . Man darf nur nicht - via f - die kritische Stelle j betreten können (d.h. f(x)=j), sonst braucht man noch die Stetigkeit von g in j.

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