Determinante

09.12.2014, 19:20	Tschako	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante Halloo. Wenn $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ Körper, $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \in K^{n \times n} \end{eqnarray}$ . Gilt dann: $\begin{eqnarray} det(A-E_n)=0 \Rightarrow Kern F_A = \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} E_n \end{eqnarray}$ Einheitsmatrix der Dimension n und $\begin{eqnarray} F_A \end{eqnarray}$ die Standardinterpretation von A ist. Ich sehe irgendwie nicht warum das gelten sollte, mir fällt aber auch kein Gegenbeispiel ein. MfG
09.12.2014, 19:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Das gilt auch nicht. Die gegebene Gleichung sagt nur aus, dass 1 ein Eigenwert von A ist. Über Injektivität entscheidet der Eigenwert 0.
09.12.2014, 19:34	Tschako	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Okay, Eigenwerte hatten wir noch nicht. Aber da war mein Gefühl ja wenigstens richtig. Aber wie kann ich ein Gegenbeispiel konstruieren? Das gelingt mir nicht. Sagen wir mal: $\begin{eqnarray} K=\mathbb R \end{eqnarray}$ Dann brauchen wir ein $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} A-E \end{eqnarray}$ die Determinante 0 hat, also zB ein A, sodass $\begin{eqnarray} A-E \end{eqnarray}$ zwei gleiche Zeilen hat oder eine Diagonalmatrix mit einer 0 auf der Diagonalen ist. Zu allen solchen A die ich ausprobiere enthält aber $\begin{eqnarray} F_A \end{eqnarray}$ nur die 0.
09.12.2014, 19:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Ah, ok. Macht aber nix, geht auch zu Fuß. Wir nehmen auch gleich noch n=2. Du suchst eine Matrix A mit $\begin{eqnarray} \det(A-E)=0 \end{eqnarray}$ und nichtttrivialem Kern, also auch noch $\begin{eqnarray} \det(A)=0 \end{eqnarray}$ . Das sind zwei Gleichungen, aus denen du passende Matrizen bestimmen kannst - darunter auch Diagonalmatrizen
09.12.2014, 19:54	Tschako	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Ah, jetzt hab ichs. Für zum Beispiel A=[0 0 0 1] klappts. Ich danke dir.

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