Vektor (X,Y) unabhängigkeit

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Malicious Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor (X,Y) unabhängigkeit
Meine Frage:
Guten Abend,

ich habe hier eine Aufgabe mit ner gemeinsamen Verteleilung von X und Y..



mit 0 ; 3p + 2q = 1 (**)

(a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und Y

(b) Sind X und Y unabhängig? Begründen Sie

(c) Berechnen Sie E(X*Y)-E(X)*E(Y) in Abhägigkeit von p

Meine Ideen:
also zunächst die Verteilung ist doch relativ ausgedrückt, richtig? Weil Omega ist 1

zu (a) P(Y=0) = p , P(Y=1)= p+q , P(Y=2)= q+p
P(X=1= p , P(X=2)= p+q , P(X=3)= q+p

und Omega ist wie gesagt 1.

Stimmt das so zu (a) ?

zu (b) hier müsste ich mir doch die Frage stellen, für welche Werte von p und q sind denn X und Y unabhängig...richtig?

Also formal sollte gelten: ich mach mal ein Beispiel :

P(Y=0)* P(X=3) = P(Y=0, X=3) p*(q+p) = 0

Aber ich weiß nicht wie ich weiter machen soll? was bringt mir denn diese Bedingung bei (**) (siehe oben, Aufgabenstellung)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malicious
also zunächst die Verteilung ist doch relativ ausgedrückt, richtig? Weil Omega ist 1

Der Sinn dieses Satzes bleibt mir verborgen: Was verstehst du unter "relatives Ausdrücken" einer Verteilung?
Und was meinst du mit "Omega ist 1"? Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Verteilung ist gleich 1, muss ja auch so sein - aber das ist allenfalls , sofern den hier zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet. Weniger Schlampigkeit bei der Verwendung der Begriffe scheint mir bei dir angesagt. unglücklich

(a) Deine Randverteilungen sind richtig. Freude

Zitat:
Original von Malicious
zu (b) hier müsste ich mir doch die Frage stellen, für welche Werte von p und q sind denn X und Y unabhängig...richtig?

Sehr richtig, denn möglicherweise hängt ja die Frage "Unabhängigkeit ja/nein" von der konkreten Wahl von p,q ab. Aber betrachte dazu lieber , das ist taktisch wohl das schnellste Vorgehen. Augenzwinkern
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,

ich wusste selbst nicht genau, was ich damit meinte, ja ich meinte genau dieses P(Omega), ja wenn ich groß bin, kann ich besser mit den Begriffen umgehen, man lernt noch viel besser, wenn man Fehler macht und daraus lernt Big Laugh

ok nun zurück zu (b) ich schaue mir also P(X=2,Y=1) an, weil ich dadurch wiederlegen kann, das X und Y unabhängig sind, nehme ich an?


P(X=2,Y=1) = P(X=2) P(Y=1) Ist das Erfüllt ? Für welche p,q?

0 = (p+q) (p+q )

0 = +2pq +

jetzt muss ich doch diese Bedingungen mitrein nehmen von der Aufgabenstellung, ich weiß nicht wie ich diese Information jetzt hier verarbeiten soll...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ausmultiplizieren ist eine denkbar schlechte Idee:

Wann kann das Quadrat einer Zahl gleich Null werden? Genau dann, wenn die Zahl selbst Null ist, d.h. hier . Dies bedeutet aber auch sofort , da ja vorausgesetzt ist...
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm dadurch habe ich ja dann nicht die Unabhängigkeit widerlegt, sondern dann ist ja ebend die Gleichheit erfüllt verwirrt

Ich dachte ich sollte jetzt zeigen, dass es ungleich 0 ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ... am Ende heißt nicht, dass du das Denken einstellen sollst, sondern da weitermachen sollst:

Ist denn in der Aufgabe hier überhaupt möglich? Ich erinnere mal an Bedingung . Augenzwinkern
 
 
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunt2 dadurch, dass das hier 3p+2q=1 gilt, kann q= 0 und p= 0 nicht gelten.

Aber ich weiß nciht wie ich jetzt p und q konkrete Werte zuordne...

also 0 = (p+q) (p+q) mit 3p+2q=1 und 0

aber die Gleichung umfomen geht ja auch nicht weil das ein Podukt ist und auf der rechten seite ne NUll steht...

bin grad verwirrt, wenn ich hierfür 3p+2q=1 ..p=0,25 und q= 0,125 setze ist diese Bedingung ja erfüllt und damit auch die Unabhängigkeit widerlegt... Erstaunt2

Aber ich soll das doch bestimmt allgemein irgendwie zeigen..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann will ich mal Ordnung in die Gedanken bringen:

Wir hatten , dass für irgendeine Parameterkombination unabhängig sind, und sind ausgehend von dieser Annahme zu gekommen, was offensichtlich nicht geht - Widerspruch.

Demnach ist für keine Parameterkombination unabhängig - fertig.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich möchte das gerne noch mal zusammenfassen:

Annahme:

P(X=2,Y=1) = P(X=2) P(Y=1) (das ist zu untersuchen)

0 = (p+q) (p+q )


0 =

hier wird das Quadrat Null, genau wenn p+q = 0 p= 0, q= 0, das würde gehen denn 0 ist gegeben, ist aber insgesamt ein Widerspruch zu 3p+2q=1

D.h. für eine beliebige Parameterkombination von p,q sind X und Y nicht unabhängig.

Wenn jedoch keine Parameterkombination von p,q vorliegt, dann X und Y unabhängig

Hab ich das jetzt richtig verstanden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
seltsame Gedanken gehen in deinem Kopf vor...
Zitat:
Original von Malicious
Wenn jedoch keine Parameterkombination von p,q vorliegt, dann X und Y unabhängig

Erstaunt1

Wie soll das denn bitte gehen, dass "keine Parameterkombination" vorliegt??? Es liegt immer eine Parameterkombination vor, sonst macht die Verteilung keinen Sinn. unglücklich
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo ups ...

Dann habe ich wohl folgende Aussage doch nicht verstanden:

"Demnach ist X,Y für keine Parameterkombination p,q unabhängig - fertig. "

Hammer
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Also lasse ich einfach den, doofen Satz weg.

Stimmt dann der Rest so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ok super ...ich mach mich gleich noch an (c) dran Big Laugh
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder, meine Korelationskoeffizient ist ganz schön fett geworden ...

=

COV(X,Y) = E(X*Y) - E(X)E(Y)= (7p + 7q) - [3(p + q)*(6p + 5q)]

VAR(X)= 8p + 8q

VAR(Y)= 2(p + q)

=

ist das richtig so? Also ich weiß zwar nicht genau warum nur von "p" verlangt ist aber soll ich dann q als konstante betrachten oder wie?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malicious
COV(X,Y) = E(X*Y) - E(X)E(Y)= (7p + 7q) - [3(p + q)*(6p + 5q)]

Das stimmt, und genau diese Kovarianz war oben eigentlich ja auch nur gefragt:

Zitat:
Original von Malicious
(c) Berechnen Sie E(X*Y)-E(X)*E(Y) in Abhägigkeit von p

D.h., wenn du uns nicht Information vorenthalten hast, musst du eigentlich nur noch das q aus der Kovarianzformel eliminieren, was über den Zusammenhang 3p+2q=1 gelingt.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja sorry ich hab schon weiter gedacht Big Laugh , es war wirklich nur nach der Kovarianz gefragt, nicht nach dem Korrelationskoeffizienten :-))

also hier das q eliminieren (7p + 7q) - [3(p + q)*(6p + 5q)] durch 3p+2q=1 2q = -3p+1 q =

und diese q setze ich nun in meine Gleichung ein ...

(7p + 7()) = [3(p + )*(6p + 5()]

*

hab ich das richtig gemacht ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du da multipliziert, wo eigentlich subtrahíert werden muss? Ich komme jedenfalls auf

Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja verdammt, ich hab es jetzt auch gerade bemerkt... ja na klar subtrahieren natürlich

Ich hab es noch mal gerechnet, ich komme jetzt auch auf dein Ergebnis...passt... du hast das aber schöner ausgeklammert Big Laugh

und sagt mir dieses Ergebnis jetzt eigentlich irgendwas bestimmtes? Also weißt du wie ich meine? Gibt's da jetzt noch eine wichtige Interpretation oder so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sagt z.B., dass Unkorreliertheit von genau dann vorliegt, wenn ist. Wie oben festgestellt, bedeutet das aber auch für diesen Parameterfall keine Unabhängigkeit.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Super Danke Hal Big Laugh und schönen Tag noch Wink
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