Fundamentalgruppe der Würfelkanten

10.12.2014, 09:32	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalgruppe der Würfelkanten Hallo zusammen. Ich soll die Fundamentalgruppe der Vereinigung der Würfelkanten des Einheitswürfels aufgefasst als Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bestimmen. Ferner sollen die Fundamentalgruppen des n-dimensionalen Würfels immer eine freie Gruppe $\begin{eqnarray} F_{d_{n}} \end{eqnarray}$ sein und ich soll für die Indizes eine Rekursions- bzw. direkte Darstellungsformel angeben. Es ist klar, dass der 2-dimensionale Würfel die Fundamentalgruppe $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ hat, da er homöomorph zur 1-Sphäre ist, welche bekanntlich die Fundamentalgruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ hat. Beim 3-dimensionalen Würfel wollte ich jetzt den Satz von Seifert und van Kampen anwenden. Leider habe ich auf diesem Gebiet wirklich noch große Schwierigkeiten. Einerseits muss ich den Würfel ja in zwei wegzusammenhängende, offene Mengen zerlegen, deren Schnitt ebenfalls wegzusammenhängend ist. Ich nehme einfach mal an, dass ich den Würfel jetzt so verschoben habe, dass eine der Würfelkanten die Punktmenge $\begin{eqnarray} \{[0,1]\times\{0\}\times\{0\}\} \end{eqnarray}$ ist, damit ich einfacher erklären kann. Ich dachte mir, ich könnte als eine Menge eine offene Teilmenge einer der Würfelkanten, aber ohne Eckpunkte (also z.B. die Menge $\begin{eqnarray} U = \{(\frac{1}{4},\frac{3}{4})\times\{0\}\times\{0\}\} \end{eqnarray}$ und als andere Menge den ganzen Würfel bis auf ein abgeschlossenes Intervall derart, dass ich als Schnitt der beiden Mengen beispielsweise die Menge $\begin{eqnarray} U \cap V = \{(\frac{1}{4},\frac{2}{3})\times\{0\}\times\{0\}\} \end{eqnarray}$ erhalte. Diese hätte dann trivial Fundamentalgruppe, sodass sich die Fundamentalgruppe der Würfelkanten als freies Produkt der FundamentalgruppLen der Teilmengen ergibt. Ferner ist offensichtlich $\begin{eqnarray} \pi_{1}(U)=\{e\} \end{eqnarray}$ . Leider habe ich dann aber immer noch das Problem, dass ich die Fundamentalgruppe meiner Menge $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nicht bestimmen kann. Ich hatte überlegt, diese nach dem gleichen Schema wie den Würfel zu zerlegen und dies schrittweise fortzusetzen. Allerdings kann man die Fundamentalgruppe des "Restwürfels" dann nach ein paar Schritten nicht mehr mit Seifert-van-Kampen bestimmen, da dieser dann nicht mehr wegzusammenhängend ist (ich hoffe, man kann meiner Idee folgen). Alternativ habe ich überlegt, den Würfel so zu deformieren, dass ich die Fundamentalgruppe quasi direkt ablesen kann. Ich kann ja die Kanten des Deckels und des Bodens zu einem Kreis verformen, sodass sich das "Gerüst" eines Zylinders ergibt. Leider stören mich dann noch die vier restlichen Kanten und weiß nicht, ob ich das Objekt noch weiter verformen kann derart, dass ich am Schluss lauter 1-Sphären habe, die jeweils in einem Punkt vereinigt sind (womit die Fundamentalgruppe dann isomorph wäre zur $\begin{eqnarray} F_{s} \end{eqnarray}$ mit s der Anzahl der Sphären. Leider ist es wirklich nicht einfach, in Topologie zu erklären, was man macht , aber vielleicht kann mir ja dennoch der Ein oder Andere folgen und hat vielleicht einen Tipp für mich. Vielen Dank schonmal!
11.12.2014, 09:57	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir mittlerweile noch etwas überlegt: Ich kann das Würfelgerüst ja zunächst zu einer Art Goldbarren verformen und diesen dann "plattdrücken". Dann habe ich also in der Mitte ein Rechteck, welches von vier Trapezen umschlossen wird. Ich habe vom Hörensagen erfahren, dass die Fundamentalgruppe wohl der freien Gruppe $\begin{eqnarray} F_5 \end{eqnarray}$ entspricht. Ich weiß bereits, dass die Einpunktvereinigung von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1- \end{eqnarray}$ Sphären die Fundamentalgruppe $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ besitzt. Leider schaffe ich es nicht, meinen plattgedrückten Barren derartig zu verformen, dass ich genau diese Situation erreiche, da mich hier mein Rechteck in der Mitte irgendwie stört (oder es übersteigt zumindest meine räumliche Vorstellungskraft ), aber ich denke, dass dies dennoch der richtige Ansatz ist. Die Frage ist jetzt außerdem, wie ich auf die Rekursiongsleichung komme.Wenn ich mir die Konstruktion anschaue, sehe ich Folgendes: Ich starte mit einem 2-dimensionalen Würfel und lege ihn auf den Boden. Dann stecke ich nacheinander vier weitere 2-dimensionale Würfel auf jede der vier Kanten und diejenigen Kanten, die ein Quadrat mit einem anderen verbinden, verschmelzen, sodass ich bei dieser Konstruktion insgesamt auf 4+3+2+2+1=12 Kanten komme. Durch Auflegen des Deckels kommen dann keine neuen Kanten mehr hinzu. Aber wie komme ich jetzt zu dem Übergang, was dies für die Fundamentalgruppe bedeutet? Vielleicht ist ja doch der Ein oder Andere Topologe hier und kann ein bisschen was dazu sagen. Sonst drehe ich hier noch durch.

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