Stetigkeit

10.12.2014, 19:22

konbon

Stetigkeit

Es sei f:R -> R gegeben durch f(x) = x, falls x irrational ist, und
f(x) = x + 1, falls x rational ist. Zeige, dass die Abbildung f bijektiv und in jedem
Punkt x element R unstetig ist.

Man def die unkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)= x \end{eqnarray*}$ fall x irrational
und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)= x-1 \end{eqnarray*}$ falls x rational

damit ist f bijektiv

ich weiß, Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen liegt mindestens eine irrationale Zahl

zum beweis der unstetigkeit
wäre f stetig so existiert für alle epsilon > 0 ein delta mit $\begin{eqnarray*} \left | x-x_0 \right |<\delta \end{eqnarray*}$
sodass $\begin{eqnarray*} \left |f(x)-f(x_0) \right |<\varepsilon \end{eqnarray*}$

wähle epsilon=delta-1 und delta>1
seien x, x_0 rational dann gib es y welches zwichen x und x_0 liegt
$\begin{eqnarray*} \left | x-y \right |<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left |f(x)-f(y) \right |= \left |x-y-1 \right |> \left |x-y \right |-1 >\delta-1>\varepsilon \end{eqnarray*}$

widerspruch zu stetigkeit!

beim beweis der Unstetigkeit bin ich mir nicht sicher!

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Das dürfte besser sein
sei x0 element von Q also f(x0)=x+1
Da die irrationalen Zahlen R \ Q in
R dicht liegen (Satz 7.6), gibt es zu jedem n element N eine irrationale Zahl xn
mit |xn -x0| < 1/n
n, also eine Folge irrationaler Zahlen, die gegen x0 geht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x-> \infty} f(x_n)=x+1\neq x= f(x) \end{eqnarray*}$

Edit von Guppi12: Beiträge zusammengefügt und behobene Darstellung aus Folgebeitrag eingefügt.

10.12.2014, 20:57

Guppi12

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Guten Abend,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x-> \infty} f(x_n)=x+1\neq x= f(x) \end{eqnarray*}$

Ich nehme mal an, das soll $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ heißen?

Was ist hier außerdem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Soll das ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ sein?

Falls ja, warum ist dann $\begin{eqnarray*} f(x_0) = x_0 \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ war doch gerade rational.
Genauso macht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n) = x_0+1 \end{eqnarray*}$ keinen Sinn, denn $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist doch irrational für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Prinzipiell ist es aber von der Idee richtig. Ordne alles noch einmal richtig und es passt. Dann brauchst du aber noch Unstetigkeit in den irrationalen Zahlen. Das geht aber analog.

10.12.2014, 21:10

konbon

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$\begin{eqnarray*} f(x_0) = x_0+1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ rational ist.
-> $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n) =\lim_{n\to\infty}(x_n)=x_0\neq x_0+1=f(x_0) \end{eqnarray*}$

Widerspruch

Hier konnte ich benutzen "Man sagt auch „Q liegt dicht in R"

doch wie benutzt man das für Unstetigkeit in den irrationalen Zahlen?

10.12.2014, 21:54

Guppi12

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Zitat:

doch wie benutzt man das für Unstetigkeit in den irrationalen Zahlen?

Du brauchst hier, dass auch die irrationalen Zahlen dicht in R liegen. Der Beweis geht dann natürlich analog.

Edit: Tut mir Leid, du brauchst tatsächlich hierfür die Dichtheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Wähle dir doch analog diesmal eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergieren genauso wie oben umgekehrt geschehen.

10.12.2014, 22:38

konbon

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Gut, ich weiß, dass R/Q dicht in R liegt
-> Es gibt eine folge x_n Element R, die gegen ein x_0 aus R/Q konvergiert.

Aber wie zeigt man daraus, dass es eine folge x_n Element Q, die gegen ein x_0 aus R/Q konvergiert.

11.12.2014, 02:43

Guppi12

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Ich hatte meinen obigen Beitrag nochmal editiert. Schau dir das nochmal an bitte.

11.12.2014, 03:11

konbon

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Zitat:

Original von Guppi12

Zitat:

doch wie benutzt man das für Unstetigkeit in den irrationalen Zahlen?

Ich weiß nicht was du meinst mit Dicheit von Q.
Wir haben in der Vorlesung zwar gezeigt das Q dicht in R liegt aber von der dichheit von Q steht nichts im skript

11.12.2014, 03:25

Guppi12

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Zitat:

Wir haben in der Vorlesung zwar gezeigt das Q dicht in R liegt

Genau das meine ich damit.

11.12.2014, 03:59

konbon

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Zitat:

Original von Guppi12

Zitat:

Wir haben in der Vorlesung zwar gezeigt das Q dicht in R liegt

Genau das meine ich damit.

Aber aus Q dicht in R liegt, folgt doch folgen von xn Element reellen zahlen konvergiert gegen ein x0 aus Q

wieso folgt daraus
Folge rationaler Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergieren

11.12.2014, 13:40

Guppi12

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Zitat:

Aber aus Q dicht in R liegt, folgt doch folgen von xn Element reellen zahlen konvergiert gegen ein x0 aus Q

Nein, es ist genau umgekehrt. Es gibt für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Folge ratioaneler Zahlen, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert.

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