Anwendung Satz von Green in der Ebene - Flächeninhalt berechnen

11.12.2014, 11:09	Arnulf123	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung Satz von Green in der Ebene - Flächeninhalt berechnen Hallo, man soll mit Hilfe des Satzes von Green in der Ebene den Flächeninhalt berechnen. Kurve: $\begin{eqnarray} x(t)=(cos^3(t), sin^3(t))^T , t\in [0,2\pi] \end{eqnarray}$ Das Vektorfeld soll man selber wählen. Ich habe gewählt: $\begin{eqnarray} G=\frac{1}{2} (-x_2,x_1)^T \end{eqnarray}$ Ich habe Probleme damit den Sinn der rechten Seite des Satzes von Green zu verstehen und sehe darin absolut kein Nutzen. Mein Lösungsweg: $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \! \begin{pmatrix} -sin^3(t) \\ cos^3(t) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -3cos^2(t)sin(t) \\ 3sin^2(t)cos(t) \end{pmatrix} dt = \frac{3}{2} \int_0^{2\pi} sin^2(t)cos^2(t) \! dt \end{eqnarray}$ Bis hier her ist mir alles soweit klar, es handelt sich um die linke Seite des Satzes. Meine Frage ist jetzt, wie soll mir der Satz helfen? Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} sin^2(t)cos^2(t) \end{eqnarray}$ zu finden ist, wie ich finde von Hand nicht so einfach. Die Stammfunktion hab ich mit Wolframalpha berechnet, sie lautet: $\begin{eqnarray} \frac{1}{32} (4t-sin(4t)) \end{eqnarray}$ Übrigens das Endergebnis lautet $\begin{eqnarray} \frac{3}{8} \pi \end{eqnarray}$ . Aber ich sehe das Problem hauptsächlich in der Integration und hätte dort eine Erleichterung erwartet von dem Satz von Green die ich allerdings nicht erkennen kann. Kann mir jemand helfen die rechte Seite des Satzes besser zu verstehen?
11.12.2014, 11:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung Satz von Green in der Ebene - Flächeninhalt berechnen Warum diese Wahl von G? Du musst doch G so wählen, dass das Flächenintegral dir den Flächeninhalt des Integrationsbereiches liefert.
11.12.2014, 11:43	Arnulf123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung Satz von Green in der Ebene - Flächeninhalt berechnen $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ wurde so gewählt, da gelten soll: $\begin{eqnarray} G=(G_1,G_2)^T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\delta G_2}{\delta x_1} -\frac{\delta G_1}{\delta x_2} =1 \end{eqnarray}$ Vorher habe ich ein Test gemacht mit $\begin{eqnarray} G=(0, x_1) \end{eqnarray}$ und hatte ähnliche Probleme mit der Stammfunktion.
11.12.2014, 12:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung Satz von Green in der Ebene - Flächeninhalt berechnen ok, hatte mich verrechnet. Für das konkrete Integral: $\begin{eqnarray} \int \sin^2(t)\cos^2(t)\,dt=\int (\sin(t)\cos(t))^2\,dt=\int\left(\frac{\sin(2t)}{2}\right)^2\,dt=\frac 1 4 \int \sin^2 (2t)\,dt = \frac 1 4 \int \sin^2 (u)\frac 1 2 \,du \end{eqnarray}$ und damit hat man es auf ein Integral aus der Formelsammlung zurück geführt. Natürlich kann man jetzt trefflich debattieren, ob das einfacher ist, als das Flächenintegral direkt zu berechnen. Es ist zumindest naheliegender, weil der betrachtete Bereich bereits durch die Randkurve gegeben ist und man sich sonst zunächst eine Parametrisierung des Bereiches überlegen und dann auch noch das Flächenintegral knacken müsste.

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